Hola,

Lo haria asi: Supongamos que tenga un punto fijo, entonces tendriamos , $$f(x)=x \longrightarrow{   x+\frac{1}{1+e^{x}}}=x  \longrightarrow{ \frac{1}{1+e^{x}}}=0 \longrightarrow{  1=0} , $$ lo que es un absurdo.

La resolveria asi:
llamando $$u=\frac{y}{x} \rightarrow{ y=ux } \rightarrow{ y'=u+u'x= \frac{u}{1-u}} \rightarrow{   u'x=\frac{u^2}{1-u} }$$


Luego:

$$\frac{du}{dx}x=\frac{u^2}{1-u}$$ separando las variables  e integrando : $$\int \frac{1-u}{u^2} du=\int \frac{1}{x}dx \rightarrow{  - u^{-1}-\ln|u|  = \ln |x| +c} $$

volviendo a las variables $$x,y$$ y usando propriedades de ln , obtenemos: $$\frac{x}{y}+\ln |y|=c$$

Otra forma sin usa L'Hopital
 Escribe de la siguiente forma : Usando diferencia de cuadrados y el limite fundamental del seno

$$ \displaystyle\lim_{x \to{5}} { \frac{(5-x)(5+x)}{ \mbox{ sen }(5-x)}} $$

Sea $$f : \mathbb{R} \longrightarrow{ \mathbb{R}}$$ dada por $$f(x)=\frac{x}{ax^2+b}$$ donde $$a,b$$ son reales positivos. Calcular su maximo y minimo si hubiera.

Hice lo siguiente: $$f'(x)=\frac{-ax^2+b}{(ax^2+b)^2}$$


 Los puntos criticos son : $$x_{0}=-\sqrt{b/a}$$ y $$x_{1}=\sqrt{b/a}$$

Caso 1: Si $$x<x_{0} \rightarrow{   x <-\sqrt{b/a} \rightarrow{  x^2 >\frac{b}{a} }  }  \rightarrow{  f'(x)<0 }$$ asi : $$f$$ es decreciente en $$(0,x_{0}).$$


Caso 2: $$x>x_{1} \rightarrow{   x> \sqrt{b/a}} \rightarrow{ x^2 > \frac{b}{a}} \rightarrow{ f'(x)<0  }$$ asi $$f$$ es decresciente en $$(x_{1}, +\infty)$$


Caso 3: Si $$x_{0}<x<x_{1} \rightarrow{   |x|<\sqrt{b/a}   } \rightarrow{x^2  <\frac{b}{a} } \rightarrow{ f'>0}$$ asi $$f$$ es creciente en $$(x_{0},x_{1})$$


Portanto $$x_{0}$$ es punto de minimo y $$x_{1}$$ es punto de maximo . Esta bien 

Muy agradecido.

Sea $$f: [a,b) \rightarrow{ \mathbb{R}}$$ una funcion dos veces continuamente derivable en $$[a,b)$$ con $$f(a)=0, f''(a) \neq 0.$$ Probar que existe $$c \in (a,b)$$ tal que $$ f(x)-(x-a)f'(x) \neq 0$$ para todo $$ x \in (a,c).$$

Hice los siguiente : $$f$$ es continua en $$[a,c]$$ y derivable en $$(a,c)$$ por el teorema del valor medio existe $$x \in (a,c)$$ tal que

$$f'(x)= \frac{f(c)}{c-a} \rightarrow{ f'(x)(c-a)-f(c)=0  }$$ y no sale. 

Muy agradecido.

Hola, ¿y de ahí cómo concluyo? 

Muy bien gracias.

Es que para mostrar la convergencia uniforme, necesitaba la desigualdad. Pero veo que es falsa que $$\sin$$  sea uniformemente continua. Gracias por la aclaracion.