gracias por la ayuda y todas las ideas que me han dado para poder desarrollar el ejercicio, este ejercicio es del Libro análisis numérico de Burden de Faires, aparece en la página 205 de la 7ma edición, en el conjunto de de ejercicios 4.4, pienso que podría tener una solución aplicando uno de los métodos de integración numérica porque esos ejercicios corresponden a esa sección, si alguien lo pudiera ver y me da su punto de vista, ¿aún así piensas que no tiene solución? Reitero lo agradecida qué estoy con todos ustedes por toda las muestras de apoyo.
No le des vueltas. El problema está perfectamente planteado y la solución es la que se obtiene al aplicar la integración trapezoidal. No hay nada que objetar ni al enunciado ni a la solución.
Piensa que hay dos tipos de problemas: unos en los que te dicen "aplica tal técnica a estos datos", y otros, que suponen un mayor grado de madurez en el estudiante, en los que te dan una información, te preguntan algo y te dejan que decidas cuál es la mejor técnica que puedes aplicar a la situación planteada. En un caso te dicen: "haz esto" y en el otro te dicen: "piensa qué se puede hacer aquí". Este problema es de los segundos. Se trata de que tú misma llegues a la conclusión de que las técnicas de integración aproximada que has aprendido sirven para enfrentarse a situaciones como la planteada.
Si conocemos la velocidad de un coche a intervalos de seis segundos, eso es bastante información. Podríamos tener más (por ejemplo, su velocidad a intervalos de un segundo), pero es absurdo decir que no sabemos nada o que, con la información disponible no se puede decir nada respecto de la longitud de la pista. Una cosa es que no podamos decir cuánto vale de forma exacta, y otra muy distinta decir que lo único que se puede hacer con los datos conocidos es tirarlos a la papelera, porque no se puede concluir nada con ellos.
Lo que digo a continuación no es nada que haga falta hacer para resolver el problema, sino que te lo digo para que te hagas una idea de la situación global y por qué es razonable usar la integración trapezoidal.
Esto es la representación de los datos de la tabla unidos por segmentos. Es un bosquejo de lo que habrá sido la función \( v(t) \) que da la velocidad del coche en cada instante \( t \). Lo único que sabemos exactamente es que en los vértices de la poligonal la velocidad es la que muestra la gráfica. El resto de valores es la interpolación más simple posible, la que se obtiene uniendo los puntos con segmentos de recta, que corresponde, como ha señalado Richard, a su poner que la aceleración en cada intervalo ha sido constante.
Esto no significa que sea razonable suponer que el piloto ha mantenido la aceleración constante a intervalos de seis segundos. Pero lo que vemos es una evolución razonable de la velocidad: durante unos 18 segundos el piloto estaba pisando el acelerador, luego ha ido frenando hasta t = 60 aproximadamente, y luego ha vuelto a acelerar.
Es razonable suponer que la verdadera función \( v(t) \) es parecida a la gráfica que ves y, en la medida en que se parezcan, la integral de esta gráfica será parecida a la integral de la verdadera función \( v(t) \), que es la longitud real de la pista.
Por lo tanto, el valor \( 9\,855 \) que se obtiene al integrar por trapecios es la estimación más razonable que se puede obtener de la longitud de la pista a partir de la información disponible. Dicho valor es la integral de la función que ves en la figura, que no será la función \( v(t) \) real, pero se parecerá al valor real en la medida en que dicha función se parezca a la \( v(t) \) real.
Por supueso, eso no significa que el valor real no pudiera ser muy diferente. Por ejemplo, en los primeros seis segundos, el piloto podría haber acelerado hasta alcanzar una velocidad de 300 pies/s y luego frenado hasta llegar a la velocidad observada de 134. Si así fuera, habría una discrepancia significativa entre la función \( v(t) \) real y la interpolación, pero esa aceleración y ese frenazo serían un fenómeno no observado, un fenómeno que no consta en nuestras observaciones.
El método científico no consiste en afirmar únicamente lo que se puede afirmar con total seguridad y no decir nada en cuanto hay el menor atisbo de duda. El método científico consiste en buscar el modelo matemático más sencillo que explica todos los datos observados, teniendo claro que si en un futuro aparecen nuevos datos o discrepancias entre las predicciones del modelo y otras observaciones, el modelo deberá ser revisado, e incluso sustituido por otro completamente distinto si fuera el caso. Pero la ciencia consiste en proponer modelos en función de los datos, no en función de cualquier cosa que podría haber pasado sin que lo hayamos visto. De no ser así, los libros de ciencia estarían llenos de duendes, fantasmas, ovnis, monstruos marinos y todo aquello que podría existir aunque nunca lo hayamos visto. Pero no. La ciencia es explicar lo que se ve y estar abierto a corregir la explicación si se ven más cosas que la contradigan.
La respuesta acorde al método científico si partimos de los datos conocidos sobre el coche y nos preguntan la longitud de la pista es 9855 pies, con todas las reservas que tiene cualquier teoría científica: que sólo pretende explicar lo observado y está abierta a modificación si surgen nuevas observaciones, pero no si alguien se plantea gratuitamente un "¿y cómo sabes tú que no ha aparecido un ovni que ha teletransportado el coche mil pies?" o "¿cómo sabes tú que el piloto no ha acelerado y frenado bruscamente en un tramo de seis segundos, de modo que no ha quedado constancia experimental de ello?" No se trata de saber o no saber eso, sino de dar un modelo que describa lo que sabemos de la forma más simple posible.
Y una muestra de madurez matemática ante el enunciado del problema es no quedarse cruzado de brazos y decir "como no me dicen qué tengo que hacer, no hago nada, no se puede hacer nada", sino llegar a la conclusión de que la integración numérica que has estudiado es una herramienta adecuada para responder a la pregunta planteada, aunque no nos hayan dicho explícitamente que lo hagamos (y es precisamente llegar a esta conclusión sin que le hayan dicho explícitamente lo que tiene que hacer es la forma en que un estudiante manifiesta su madurez en el dominio de las herramientas que ha aprendido).
