[Zionira]

Hola!!! El problema es el siguiente:
Dos trabajadores de un banco transportan un contenedor cargado con 1000 lingotes de oro. Los trabajadores planean robar parte del cargamento cambiando lingotes de oro por lingotes de aluminio. Para que el plan salga bien necesitan que el contenedor pese lo mismo antes y después del cambiazo. Si 13 lingotes de oro pesan lo mismo que 29 lingotes de aluminio, ¿Cuantos lingotes de oro serán capaces de robar y cuantos lingotes de aluminio necesitan para ello?

Y mi pregunta es cómo se plantearía porque yo lo intento plantar tomando a x como número de lingotes de oro y a y como de aluminio, pero inconsciente termino tomándolos como peso. Ya resolví la identidad de Bezout correspondiente tomando en cuenta q 13 y 29 son coprimos pero no sé por qué multiplicarlo! Muchas gracias de antemano!!

[manooooh]

Hola

Pues yo lo he planteado como una regla de tres simple:

13 lingotes de oro ------ 29 lingotes de aluminio
1000 de oro           ------- x

Ahora \( x=2231 \) lingotes de aluminio.

Y ahí es una equivalencia, ambos pesan lo mismo.

La pregunta de cuánto oro van a robar es todo el cargamento o sea 1000 ¿no es así?

Saludos

[feriva]

Hola.

yo lo intento plantar tomando a x como número de lingotes de oro y a y como de aluminio, pero inconsciente termino tomándolos como peso. Ya resolví la identidad de Bezout correspondiente tomando en cuenta q 13 y 29 son coprimos pero no sé por qué multiplicarlo! Muchas gracias de antemano!!

Puedes pensar en una unidad de peso “u”, entonces \( 13x=29y=u
  \)

\( 13x+29y=2u
  \)

Pero, creo yo, está unidad nos da igual cuál sea, porque esto no es física, podemos hacer u=1.

Entonces, tenemos la ecuación diofántica \( 13x+29y=2
  \) con solución x,y, tal que

\( x=29k+18
  \)

\( y=-13k-8
  \)

Con “k=0”, por ejemplo, una solución es \( x=18;y=-8
  \)

Sustituimos

\( 13(18)+29(-8)=2
  \)

despejamos

\( 13(18)=2+29(8)
  \)

esto es la igualdad, por así decir, “a=a” tal que a=234.

Bien, esa solución como ejemplo nada más.

Ahora, como no pueden robar más de mil, tienes que buscar la igualdad “a=a” tal que la solución para el paréntesis de la izquierda (asociado a x, la cantidad de lingotes de oro) sea la adecuada para que se acerque todo lo posible a 1000 sin pasarse; y ahí, ya, la ecuación también te da la solución para los lingotes de aluminio que tienen que poner.

Pero ahora que me fijo, ¿seguro que lo tienes que resolver con una ecuación diofántica? Porque ocurre, si te fijas, que la identidad de Bézout no tiene soluciones x,y “positivo, positivo”, es una negativa y otra positiva, por lo que la suma 13x+29y no puede ser un entero 2u, tendría que existir alguna solución con las dos positivas, pues el concepto de lingotes “negativos” se ve muy raro.
Entonces el peso no es un entero; y será como te dice Manooooh (salvo que el profesor no haya pensado bien los numeritos del problema.)



Saludos.

[Richard R Richard]

Para que el plan salga bien necesitan que el contenedor pese lo mismo antes y después del cambiazo......

 ¿Cuantos lingotes de oro serán capaces de robar y cuantos lingotes de aluminio necesitan para ello?

Que fácil sería si la única medida de seguridad sería el peso, ...

Si se infringe la ley hay que hacerlo por algo que "valga la pena"

Intuyo que el redactor del problema quiere que veamos cuántos lingotes podemos reemplazar entre genuinos y falsos

Si por cada 13 genuinos incorporamos 29 falsos , es posible intercambiar 76 grupos de 13 lingotes \( 13\cdot76=988 \) lingotes genuinos y reemplazarlos \( 76\cdot29=2204 \) de ese modo la unica condicion de seguridad seria franqueada...

Pero a quien se le ocurre entregar más de un contenedor de lingotes, porque si 1000 entraban en un contenedor \( 2204+12 =2216 \) lingotes no van a entrar en un  solo contenedor....Poca viveza, tiene este par de delincuentes....

Físicamente, como cada lingote pesa 400 onzas troy unos 12.4 Kg, y a manos no puedes cambiar 12.25 toneladas de oro  por 12.25 toneladas de aluminio... así que el plan hace aguas por todos lados

La cantidad de lingotes  es mucho mayor, cualquiera que cuente se da cuenta. , mayor el volumen es mucho mayor, requiere más de un contenedor y el peso muy superior para cambiarlo a mano en  viaje, además hay que comprar 12 toneladas de aluminio y pintarlas de dorado?

A mi se me hubiese ocurrido rellenar las paredes piso y techo del contenedor con plomo, la cantidad en peso de plomo tiene que ser múltiplo (m) de la diferencia en peso de un lingote de oro menos el de uno d aluminio.

\( P_{eso\, contendor}+P_{lingote\,oro}\cdot1000=P_{eso\, contendor}+P_{eso\, plomo} +(P_{lingote\,oro}-P_{lingote\, alum})\cdot 1000 \)

mmmm!!!! me parece que he visto muchas películas...

Na!!! mejor me busco un trabajo , .... Saluda  atte  el padrino 

[Zionira]

  Si, quizá no está bien planteado del todo y veo que hay que ser un genio para robar un banco Pero yo las respuestas negativas las veo como cuántos quitas, aunque ahora que lo pienso tampoco tiene mucho sentido . Muchas gracias a todos!!!

[feriva]

Pero yo las respuestas negativas las veo como cuántos quitas, aunque ahora que lo pienso tampoco tiene mucho sentido .

Algo así imaginé yo en principio, pero enseguida me di cuenta de que no puede ser. Piensa que si el peso fuera un entero, entonces \( 13x
  \) tendría que ser un entero con el mismo signo que \( 29y
  \), porque son iguales; por lo cual la suma \( 13x+29y
  \) también tendría el mismo signo que ambos individualmente. Pero por la identidad de Bézout vemos que no puede ser; pues por mucho que multipliquemos toda la ecuación por un entero, no podemos hacer que ambos tengan el mismo signo (todo lo más que podemos conseguir es invertir los signos).

Si se infringe la ley hay que hacerlo por algo que "valga la pena" 

Hay un aspecto psicológico en todo esto que es interesante (surge a veces). Si se está mirando un libro o un tema donde aparece un tipo de problemas (por ejemplo de enteros, como aquí, matemática discreta) esto condiciona, hace que esperemos que todos los ejercicios relacionados se resuelvan con los métodos que se explican en la teoría concreta. Y aunque a un alumno se le pueda ocurrir resolverlo de otra manera, con otras herramientas, en un curso académico no se atrevería, porque sabe que se trata de usar lo que se ha aprendido en ese tema y que, probablemente, el profesor no le va a admitir otra cosa (al menos en los exámenes). Luego, aparte de enteros, está lo que dices, que las condiciones del problema se antojen físicamente surrealistas

Sin embargo, a veces pueden ocurrir cosas así; por accidente o porque el profesor quiere experimentar.

Saludos.

[martiniano]

Hola.

Tal y como está planteado el problema, yo estoy de acuerdo con la solución de Richard. Se cambian 988 lingotes de oro por 2204 de Aluminio.

Se me ocurre que quizás este problema sirva para introducir algo sobre programación lineal entera.

Saludos.