Es un mensaje muy largo con muchas preguntas, pero intentaré contestar brevemente a algunas.
Antes de nada voy a dar un pequeño esbozo sobre mi nivel en dichos ámbitos, a saber:
Mi nivel actual en matemáticas es aproximadamente de segundo de carrera y sobre mi nivel en lógica, ya he cursado dos asignaturas en la carrera de filosofía que son logica de orden cero (logica proposicional) y logica de primer orden (lógica de predicados), una pena que no exista un doble de filosofía y mates en españa. Por tanto tengo unas nociones necesarias (no sé si suficientes) para estudiar a fondo todo esto.
Realmente lo más necesario para el estudio de la lógica matemática es tener un cierto grado de madurez matemática. Esto quiere decir básicamente estar acostumbrado a los razonamientos matemáticos, saber distinguir demostraciones (a nivel informal) correctas de incorrectas, y ser capaz de hacer demostraciones sencillas. Fuera de ahí, para las cosas más o menos básicas no se requiere un gran bagaje de álgebra, análisis u otros de los temas que se suelen tocar en la carrera. Quizás lo más útil para la lógica en esa línea sea un conocimiento básico de topología general. Luego si te metes a fondo en algún tema concreto sí que es posible que necesites más herramientas, pero eso ya lo irás viendo.
Resumiendo me vendría genial tener referencias en español, inglés o portugués con notación actual (un contraejemplo sería la notación de Frege o de Russell en sus respectivas obras). Conozco los libros de Carlos Ivorra sobre teoría de conjuntos o lógica pero entre la notación que emplea y que a veces no sintetiza nada, se hace demasiado extenso sin motivo alguno.
Soy bastante malo recomendando libros. Yo me inicié en la lógica de verdad con una versión antigua del libro de lógica de Carlos Ivorra. Es cierto que tiene notación poco usual (por ejemplo los cuantificadores), pero se acostumbra uno rápido. También está el tema de los descriptores, pero si no te gustan diría que los puedes ignorar.
Aparte de eso, de lo que es lógica matemática "generalista" recuerdo haber leído el "Mathematical logic" de Ebbinghaus, Flum y Thomas, que es un libro muy matemático que entra en pocas disquisiciones filosóficas. Y el "Introduction to metamathematics" de Kleene, que también me gustó bastante en su momento.
Las cuestiones que me traen más dolor de cabeza actualmente son, a saber:
Entender los teoremas de Gödel en profundidad y a qué área pertenecen, porque no tengo claro a qué ambito de las mates o logica refieren, unos dicen que la teoría de modelos, otros la teoría de la demostración, otros a la metamatematica, otros a la metalógica...
Me parece un poco arbitrario clasificarlo en uno de esos campos, pero yo diría que teoría de modelos desde luego que no, y que puede encajar en teoría de la demostración, pero normalmente la gente de teoría de la demostración se dedica a otras cosas. En cuanto a libros sobre los teoremas de Gödel, ahí sí que diría que la mejor exposición que he leído es la del libro de Carlos Ivorra.
Alguna obra que relacione de los trabajos de Henkin y Gödel, es decir, como entenderlos a ambos. Si es mejor empezar por Henkin (conozco los teoremas por apuntes de clase pero no tengo una bibliografía potente al respecto) y acabar con Gödel o al revés.
¿Por la obra de Henkin te refieres al teorema de completitud? En realidad la primera versión del teorema de completitud la demostró el propio Gödel. En cuanto a la relación, pues ambos tratan temas algo distintos.
El teorema de completitud (para lógica de primer orden) te dice que la sintaxis (demostraciones formales) coincide con la semántica (verdad en modelos). Más formalmente, te dice que la relación \( \Gamma \vdash \phi \) (existe una demostración formal de \( \phi \) a partir de fórmulas de \( \Gamma \)) es equivalente a \( \Gamma \models \phi \) (toda interpretación que hace satisface cada fórmula de \( \Gamma \) también satisface \( \phi \)). Este es por tanto un teorema fundamental sobre la lógica de primer orden, que establece en forma de eslógan, que "sintaxis=semántica". Es decir, no nos vamos a perder nada sobre la semántica con las demostraciones formales, y al revés, las demostraciones formales son semánticamente válidas.
Por cierto, que esta propiedad se pierde cuando subes por ejemplo a lógica de segundo orden.
En cambio, los teoremas de incompletitud de Gödel hacen referencia a un tipo de teorías axiomáticas concretas (teorías aritméticas, es decir, teorías donde puedes hablar de los naturales y demostrar sus propiedades más básicas). El primero afirma básicamente que si una tal teoría es consistente y tienes un algoritmo para decidir si una fórmula dada es un axioma de esa teoría, entonces esa teoría es (sintácticamente) incompleta, en el sentido de que existe alguna sentencia que la teoría ni demuestra ni refuta. El segundo teorema es una elaboración del primero que te dice que como tal sentencia puedes tomar una sentencia que afirma la consistencia de la propia teoría.
En virtud del teorema de completitud, puedes traducir esto a la parte semántica y lo que te dice es que una tal teoría nunca va a ser categórica, es decir, siempre va a tener varios modelos distintos (de los cuales algunos "creen" que la teoría no es consistente). En particular, ninguna tal teoría puede caracterizar de forma unívoca a los naturales, ni tan siquiera a la teoría de primer orden de los naturales. Dicho de otra manera, siempre habrá verdades sobre los naturales que no puedas demostrar en una tal teoría axiomática.
Todo esto da para muchísimo (por ejemplo, para hablar de naturales no estándar), pero lo dejo aquí.
¿Qué pasa después de Gödel? Hay algo que corregir, matizar o añadir a sus trabajos.
Bueno, por un lado tienes la modificación de Rosser, pero en mi opinión es algo un tanto anecdótico que está explicado en cualquier libro donde estén explicados los teoremas. Que corregir no hay nada, los teoremas son correctos y es lo que hay. Es una limitación fundamental para las teorías aritméticas y no hay nada que hacer. En cuanto a añadir, ha habido desarrollos posteriores. Por ejemplo, que yo conozca, hay una línea que consiste en empezar con una teoría aritmética \( T \) , e ir considerando una sucesión de teorías \( T' := T + Con(T) \), \( T'' := T' + Con(T') \), etc. Esta iteración se puede hacer transfinita, y el primero que se dedicó a estudiar eso fue Turing en su tesis doctoral. Años después creo que fue Fefferman que continuó esa línea y publicó algunos papers.
Pero para lo que es la lógica en general, yo diría que la gente simplemente aceptó los teoremas de Gödel y siguieron adelante, dedicándose a otro tipo de problemas.
¿Qué relación existe entre las lógicas y las matemáticas? unos dicen que la lógica pura es pura sintaxis y al introducir la semántica tenemos a las mates, y por tanto las mates serían parte de la lógica (cosa que no estoy de acuerdo, al menos por ahora). Ya que la lógica formal es formalizada mediante conceptos matemáticos fundamentales, como la inducción matemática (finita y transfinita), los conjuntos, las relaciones, las clases, las aplicaciones o funciones, etc, etc por tanto la logica solo tiene sentido (semánticamente hablando) si se aplica las matemáticas sobre ella. En el libro de Graham Priest an introduction to non clasical logic, el autor afirma que muchas de las demostraciones que trata son matemáticamente dificiles sin hacer mencion a la una demostración lógica
Digo todo esto porque estoy exhausto de escuchar a personas, que por cursar un cuatrimestre de lógica y sin tener ni idea de matemáticas (ni siquiera lo básico), que las mates son parte de la lógica. A mi juicio aunque ambas son irreducibles una a la otra, la logica emplea no solo en cantidad sino también en contenido más que las matemáticas utilizan la lógica.
Esto es ya más filosófico y para mí es un tanto estéril debatir si las matemáticas son parte de la lógica o al revés.
En mi opinión, la lógica tiene una doble vertiente. Por un lado puedes usarla para fundamentar las matemáticas (partiendo de nociones "intuitivas"). Por otro lado, la lógica matemática formalizada es un campo de las matemáticas como podría ser el álgebra o el análisis, y que de hecho ha contribuido a resolver problemas de otras partes de las matemáticas.
¿Qué relación existe entre la sintaxis y la semántica? Porque en los tableau hablamos de reglas de inferencia (similares a las reglas de deducción natural) que a priori son puramente sintacticas pero dichas reglas preservan la verdad, es decir tambien son reglas semánticas.
La que te dije más arriba. El teorema de completitud te dice que son esencialmente dos caras de la misma moneda.
Alguna obra que tenga un esquema general sobre todas las ramas de las matemáticas y la lógica y sus intersecciones, para saber que diferencias hay entre metalógica y metamatematica o entre teoría de modelos y teorías de tipos.
Ni idea. También te diré que he leído bastante sobre lógica y tendría problemas para definir qué es "metalógica" y cómo se distingue de la "metamatemática". Teoría de modelos trata la parte semántica de la lógica. Teoría de tipos es un marco alternativo al usual de lógica de primer orden + teoría de conjuntos. Si has programado alguna vez, es el tipo de sistema que usan la mayoría de lenguajes de programación, donde todas las variables tienen un tipo asociado (integer, float, string, ...). Últimamente está bastante de moda porque se usan para verificación formal de demostraciones matemáticas y porque se han descubierto conexiones muy interesantes entre ciertos tipos de teorías de tipos y la teoría de homotopía en matemáticas.
Alguna obra que hable de las propiedades sintácticas o semánticas de la teoría de categorías y como esta no es irreductible a teoría de conjuntos.
Yo no diría que no es irreductible a la teoría de conjuntos. Puedes hacer (y de hecho se hace) teoría de categorías con una fundamentación conjuntista. Es cierto que ZFC a veces se queda un poco corto, pero asumiendo algún axioma de cardinales grandes "pequeños" (existencia de cardinales inaccesibles) ya te llega para hacer todo lo que se suele hacer en teoría de categorías. Sobre obras, la teoría de categorías desde el punto de vista lógico está muy ligado a la teoría de tipos. De hecho, se podría decir que la teoría de categorías es la semántica natural de las teorías de tipos (o al revés, que las teorías de tipos son el "lenguaje interno" de las categorías). Libros donde expliquen esto que se me ocurren a bote pronto: "Categorical logic and type theory" de Bart Jacobs, y cualquier libro de teoría de topos (aunque estos son más específicos y probablemente requieren más bagaje de categorías). En general, cualquiera que se llame "categorical logic" o algo parecido debería hablar de estas cosas.
¿Por qué algunos espacios topologicos/algebraicos contienen estructura de lógica intuicionista? De donde se obtiene eso?
En el caso de los espacios topológicos no son algunos, sino todos. Esto sale de que el retículo de los conjuntos abiertos de un espacio topológico es un álgebra de Heyting, que es la estructura algebraica asociada a la lógica intuicionista análogamente al hecho de que el álgebra de Boole es la asociada a la lógica clásica. Sería algo largo ponerme a detallar ahora esto, pero si buscas por internet álgebra de Heyting y espacio topológico seguro que encuentras explicaciones detalladas.
¿Por qué podemos entender los ideales de un anillo como espacios topologicos?
Esto no es del todo correcto. Creo que te refieres al espectro de un anillo. Pero eso es una forma de asociar un espacio topológico (y algo más, el haz estructural) a un anillo. Pero ahí lo que haces es ver los ideales
primos del anillo como puntos del espacio topológico asociado, y los ideales (primos o no) dan lugar a subconjuntos cerrados del espacio. Esto de hecho tiene más que ver con geometría algebraica que con lógica, aunque es una inspiración fuerte para ciertas partes de la teoría de categorías, como la teoría de topos, que también tiene mucho que ver con lógica.
El origen fue una de las (muchas) ideas geniales que tuvo Grothendieck. Era bien conocido clásicamente la dualidad entre variedades algebraicas en un cuerpo algebraicamente cerrado \( k \) y las \( k \)-álgebras reducidas finitamente generadas. La idea es que puedes ver cada \( k \)-álgebra como el anillo de funciones regulares de una variedad algebraica (que es un objeto geométrico). La gran idea de Grothendieck fue darse cuenta que puedes hacer lo mismo para cualquier anillo conmutativo: verlo como el anillo de funciones regulares de un cierto objeto geométrico. Este "objeto geométrico" es el espectro del anillo. Esto es un tema muy interesante, pero creo que se sale un poco del tema del hilo.
Al final me he extendido bastante, espero no haberte dejado con más dudas de las que traías.
