[manooooh]

Hola!

Quería compartirles la solución de un ejercicio transcrito literalmente a ver qué opinan:

Dadas \( R \) y \( S \) dos relaciones de equivalencia definidas en un conjunto \( A \), completar:

a) \( R\cap S \) es de equivalencia: i) Siempre, ii) Nunca,  iii) Sólo si:

b) \( R\cup S \) es de equivalencia: i) Siempre, ii) Nunca,  iii) Sólo si:


La respuesta dice:

a) Siempre es de equivalencia (está demostrado anteriormente).

b) iii) Sólo si: \( R\subseteq S\lor S\subseteq R\lor{} \) (aquí parece que falta algo, ¿qué es?)

Si \( R\subseteq S\lor S\subseteq R \) entonces \( R\cup S \) es una de ellas, con lo cual es de equivalencia. También en otros casos donde \( R\cap S \) sean sólo bucles.

¿Alguien podría traducir lo que dice la respuesta, por favor? ¿Cómo se relaciona lo de "que sean sólo bucles" con lo anterior? ¿Son 1 o 2 condiciones para que la unión sea de equivalencia?

Gracias!!
Saludos

[ani_pascual]

Hola:

La respuesta dice:

a) Siempre es de equivalencia (está demostrado anteriormente).

b) iii) Sólo si: \( R\subseteq S\lor S\subseteq R\textcolor{red}{\lor{}} \) (aquí parece que falta algo, ¿qué es?)

Si \( R\subseteq S\lor S\subseteq R \) entonces \( R\cup S \) es una de ellas, con lo cual es de equivalencia. También en otros casos donde \( R\cap S \) sean sólo bucles.

¿Alguien podría traducir lo que dice la respuesta, por favor? ¿Cómo se relaciona lo de "que sean sólo bucles" con lo anterior? ¿Son 1 o 2 condiciones para que la unión sea de equivalencia?

Parece que lo que sobra es el último conector disyuntivo o quizás se refiera a los casos en que \( R\cap S \) genera solo bucles.
El siguiente ejemplo NO es válido porque \( R,S \) no son relaciones de equivalencia.
Por ejemplo, en \( X=\{1,2,3\} \) se consideran las relaciones \( R\subset X\times X=\{(1,1),(2,2)\} \) y \( S\subset X\times X=\{(2,2),(3,3)\} \). Se tiene que \( R\not\subset S \) y \( S\not\subset R \), y \( R\cup S \)  es relación de equivalencia.
CORREGIDO.
Quizás \( R\cup S \) es de equivalencia si y solo si \( R\subseteq S \vee S\subseteq R \). Intentaré buscar otro ejemplo, por si acaso.
Saludos

[manooooh]

Hola

Parece que lo que sobra es el último conector disyuntivo o quizás se refiera a los casos en que \( R\cap S \) genera solo bucles.

Claro, pero no sé cómo se traduciría formalmente lo de "genera sólo bucles". Quizás se refiera a que \( R=S=\{x\in A\colon(x,x)\} \), pero no sé cómo esto se sigue de \( R\subseteq S\lor S\subseteq R \).

El siguiente ejemplo quizás es válido.
Por ejemplo, en \( X=\{1,2,3\} \) se consideran las relaciones de equivalencia \( R\subset X\times X=\{(1,1),(2,2)\} \) y \( S\subset X\times X=\{(2,2),(3,3)\} \). Se tiene que \( R\not\subset S \) y \( S\not\subset R \), y \( R\cup S \)  es relación de equivalencia.
CORREGIDO.

Pero no son de equivalencia porque no son reflexivas; para la primera, existe \( 3\in X \) (\( A \) para el caso del enunciado) tal que \( (3,3)\notin R \) y existe \( 1\in X \) (\( A \) para el caso del enunciado ) tal que \( (1,1)\notin S \).

Saludos

[ani_pascual]

Hola

Parece que lo que sobra es el último conector disyuntivo o quizás se refiera a los casos en que \( R\cap S \) genera solo bucles.

Claro, pero no sé cómo se traduciría formalmente lo de "genera sólo bucles". Quizás se refiera a que \( R=S=\{x\in A\colon(x,x)\} \), pero no sé cómo esto se sigue de \( R\subseteq S\lor S\subseteq R \).

El siguiente ejemplo quizás es válido.
Por ejemplo, en \( X=\{1,2,3\} \) se consideran las relaciones de equivalencia \( R\subset X\times X=\{(1,1),(2,2)\} \) y \( S\subset X\times X=\{(2,2),(3,3)\} \). Se tiene que \( R\not\subset S \) y \( S\not\subset R \), y \( R\cup S \)  es relación de equivalencia.
CORREGIDO.

Pero no son de equivalencia porque no son reflexivas; para la primera, existe \( 3\in X \) (\( A \) para el caso del enunciado) tal que \( (3,3)\notin R \) y existe \( 1\in X \) (\( A \) para el caso del enunciado ) tal que \( (1,1)\notin S \).

Saludos

Hola:
Llevas razón. Me he dado cuenta enseguida. Habrá que buscar otro ejemplo. Ahora lo corrijo.
Saludos

[manooooh]

Hola

Llevas razón. Me he dado cuenta enseguida. Habrá que buscar otro ejemplo. Ahora lo corrijo.

Perdón si no me he expresado bien, pero bajo las hipótesis del "sólo si", la respuesta dice que \( R\cup S \) termina siendo de equivalencia. Por lo tanto, yo no busco un contraejemplo (que no lo habrá bajo esas hipótesis), sino que quisiera entender de dónde salen esas hipótesis y cómo es eso de "genera sólo bucles" porque no lo he entendido (desde un punto de vista con símbolos matemáticos, porque entiendo lo que significa gráficamente).

Saludos

[ani_pascual]

Hola

Llevas razón. Me he dado cuenta enseguida. Habrá que buscar otro ejemplo. Ahora lo corrijo.

Perdón si no me he expresado bien, pero bajo las hipótesis del "sólo si", la respuesta dice que \( R\cup S \) termina siendo de equivalencia. Por lo tanto, yo no busco un contraejemplo (que no lo habrá bajo esas hipótesis), sino que quisiera entender de dónde salen esas hipótesis y cómo es eso de "genera sólo bucles" porque no lo he entendido (desde un punto de vista con símbolos matemáticos, porque entiendo lo que significa gráficamente).

Saludos

Según la respuesta, entiendo (aunque aún no he encontrado ejemplos) que es posible que \( R\not\subset S, S\not\subset R \) y \( R\cup S \) sea de equivalencia. Si no es posible esto, supongo que la unión de relaciones de equivalencia solo será de equivalencia si una de ellas está incluida en la otra o son iguales.

[Luis Fuentes]

Hola

 El problema de la unión de relaciones de equivalencia para ser de equivalencia es la transitividad. Un ejemplo de dos relaciones de equivalencia cuya unión no lo es puede ser en \( X=\{1,2,3\} \):

\( R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\} \) (clases de equivalencia \( \{1,2\},\{3\} \))
\( S=\{(1,1),(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)\} \) (clases de equivalencia \( \{1\},\{2,3\} \))

Si denotamos \( T=R\cup S \) se tiene que \( 1T2,2T3 \) pero \( 1\not T 3 \): falla la transitividad.

Según la respuesta, entiendo (aunque aún no he encontrado ejemplos) que es posible que \( R\not\subset S, S\not\subset R \) y \( R\cup S \) sea de equivalencia. Si no es posible esto, supongo que la unión de relaciones de equivalencia solo será de equivalencia si una de ellas está incluida en la otra o son iguales.

Un ejemplo donde ninguna está contenida en la otra pero la unión es de equivalencia puede ser en \( X=\{1,2,3,4\} \):

\( R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1)\} \) (clases de equivalencia \( \{1,2\},\{3\},\{4\} \))
\( S=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(3,4),(4,3)\} \) (clases de equivalencia \( \{1\},\{2\},\{3,4\} \))

donde

\( R\cup S=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)\} \) (clases de equivalencia \( \{1,2\},\{3,4\} \))

También en otros casos donde \( R\cap S \) sean sólo bucles.

¿Alguien podría traducir lo que dice la respuesta, por favor? ¿Cómo se relaciona lo de "que sean sólo bucles" con lo anterior? ¿Son 1 o 2 condiciones para que la unión sea de equivalencia?

Sinceramente no se a que se refiere con lo de bucles; de hecho a través de la intersección no veo forma de caracterizar que la unión sea de equivalencia, ya que si te fijas en los ejemplos en ambos casos la intersección se reduce a las relaciones reflexivas (cada elemento consigo mismo).

Una condición obvia es exigir la transitividad: si \( (a,b)\in R\cup S \) y \( (b,c)\in R\cup S \) entonces \( (a,c)\in R\cup S.
 \).

Otra opción: si para todo \( x\in X \) entonces \( cl_R(x)\subset cl_S(x) \) ó \( cl_S(x)\subset cl_R(x) \).

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

Sinceramente no se a que se refiere con lo de bucles; de hecho a través de la intersección no veo forma de caracterizar que la unión sea de equivalencia, ya que si te fijas en los ejemplos en ambos casos la intersección se reduce a las relaciones reflexivas (cada elemento consigo mismo).

Gracias por aportar el ejemplo buscado. Quizás, con lo de los bucles se refiera a las relaciones reflexivas, es decir, que para que la unión de  relaciones de equivalencia sea una relación de equivalencia es necesario, i.e. solo si, (aunque no suficiente) que \( R\subset S \vee S\subset R \) o que la intersección, \(  R\cap S \) incluya las relaciones reflexivas.  En el ejemplo que has puesto se ve que es posible que \( (R\not\subset S) \wedge (S\not\subset R)\wedge (R\cup S) \) es relación de equivalencia, cumpliéndose que \( R\cap S=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\} \), es decir, que contiene a los supuestos bucles   
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Quizás, con lo de los bucles se refiera a las relaciones reflexivas, es decir, que para que la unión de  relaciones de equivalencia sea una relación de equivalencia es necesario, i.e. solo si, (aunque no suficiente) que \( R\subset S \vee S\subset R \) o que la intersección, \(  R\cap S \) incluya las relaciones reflexivas.  En el ejemplo que has puesto se ve que es posible que \( (R\not\subset S) \wedge (S\not\subset R)\wedge (R\cup S) \) es relación de equivalencia, cumpliéndose que \( R\cap S=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\} \), es decir, que contiene a los supuestos bucles   

¡No! La intersección de dos relaciones de equivalencia SIEMPRE incluye las relaciones reflexivas, porque ambas relaciones son reflexivas. Así que eso no dice nada a favor o en contra de que la unión sea o no reflexiva; de hecho en el otro ejemplo que puse de unión NO de equivalencia, la intersección si contenía (como no podía ser de otra manera) a todas las relaciones reflexivas de cada elemento consigo mismo.

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

¡No! La intersección de dos relaciones de equivalencia SIEMPRE incluye las relaciones reflexivas, porque ambas relaciones son reflexivas. Así que eso no dice nada a favor o en contra de que la unión sea o no reflexiva; de hecho en el otro ejemplo que puse de unión NO de equivalencia, la intersección si contenía (como no podía ser de otra manera) a todas las relaciones reflexivas de cada elemento consigo mismo.

Me refería a que en el enunciado, partiendo de que \( R \) y \( S \) son relaciones de equivalencia,  había que completar lo siguiente:
\( R\cup S \) es de equivalencia
i) Siempre
ii) Nunca
iii) Solo si
y según manooooh, la respuesta que tenía, era la iii) Solo si \( (R\subset S) \vee (S\subset R)\,\, \vee ... \), donde la última disyunción parecía referirse a que \( R\cap S \) eran los bucles.
Por eso sugiero que quizás con lo de bucles se refiera a las relaciones reflexivas, ya que éstas han de estar sí o sí en la unión para que la unión sea una relación de equivalencia, si bien esta condición disyuntiva triple no es suficiente. Saludos