[conchivgr]

Hola.

Cuando estamos demostrando matemáticamente una implicación,

cuál es la diferencia entre razonar por reducción al absurdo y negar la implicación?.

Es "negar la implicación" un caso particular del razonamiento por "reducción al absurdo"?.

Es decir, si tenenos que demostrar \( A\longrightarrow{B} \), de las dos formas empezaremos suponiendo que \( B \) es falso, es decir, negando \( B \).

En un caso (negando la implicación), llegamos a la negación de \( A \), que si desde el principio la tomamos como verdadera, estamos llegando a una contradicción.

Diría que negando la implicación hay que llegar a la negación de \( A \), y razonando por reducción al absurdo, basta con llegar a una contaradicción lógica cualquiera, que acaba por negar \( A \), pero no de forma directa.

Mi conclusión es que la negación de la implicación es un caso particular del razonamiento por reducción al absurdo.

Es esto correcto?.

Besos.

[Ricardo Boza]

Hola,

Supongo que te refieres a probar el contrarrecíproco.

Te dejo esto por si te ayuda:

Supongamos que quieres probar la implicación \( p\rightarrow{q} \). Entonces, si tienes \( p \) y \( \neg q \) deberías llegar a contradicción. Supongamos que en efecto ocurre así. Entonces:

\( (p\wedge \neg q)\rightarrow 0 \Longleftrightarrow (p\wedge \neg q)=0\Longleftrightarrow \neg (p\wedge \neg q)=1\Longleftrightarrow \neg \neg (\neg p\vee q)=1\Longleftrightarrow (p\rightarrow{q})=1 \)


\( (p\rightarrow{q})\Longleftrightarrow \neg p \vee q\Longleftrightarrow \neg q \rightarrow{\neg p} \)

He usado \( p \) y \( q \) para no confundir \( A \) y \( B \) de teoría de conjuntos.

Saludos.

[Ricardo Boza]

Porque tener \( p\wedge \neg q \wedge (p\rightarrow q)\rightarrow \neg q \wedge q=0  \).

Tú partes de \( p\wedge \neg q \) y llegas a \( 0 \).

Pero esa contradicción se da si y sólo si \( p\rightarrow{q} \) es cierta.

[conchivgr]

Hola.
Muchísimas gracias. 
Por lo tanto,  partiendo de que la implicación es cierta,  son equivalentes.
Muchas gracias.
Besos.