[manooooh]

Hola!

Esta pregunta va con motivo de haber visto a Masacroso tener la tendencia a escribir las definiciones usando \( := \) (el cual, técnicamente, existe un paquete en LaTeX que centra los : para hacerlo más coherente con su significado, pero es otra cuestión). Si ves esto Mascroso, ¡hurra y te animo a comentar!

Mi pregunta es, sabiendo que en una definición implícitamente la implicación se da en los dos sentidos, ¿existe el signo \( :=: \) para denotar que no solamente una definición se da de izquierda a derecha, sino que también es la recíproca? ¿Es un signo metalógico, pertenece a alguna lógica de orden \( n \)....?

¿O quizás no existe porque se acostumbra a decir en las definiciones "Se dice que ... si..." en vez de "Se dice que... si y sólo si..."?

Gracias!!
Saludos

[noisok]

Hola!

Esta pregunta va con motivo de haber visto a Masacroso tener la tendencia a escribir las definiciones usando \( := \) (el cual, técnicamente, existe un paquete en LaTeX que centra los : para hacerlo más coherente con su significado, pero es otra cuestión). Si ves esto Mascroso, ¡hurra y te animo a comentar!

Mi pregunta es, sabiendo que en una definición implícitamente la implicación se da en los dos sentidos, ¿existe el signo \( :=: \) para denotar que no solamente una definición se da de izquierda a derecha, sino que también es la reciproca? ¿Es un signo metalógico, pertenece a alguna lógica de orden \( n \)....?

¿O quizás no existe porque se acostumbra a decir en las definiciones "Se dice que ... si..." en vez de "Se dice que... si y sólo si..."?

Gracias!!
Saludos

No he visto nunca el símbolo \( :=: \).  EL otro símbolo si lo he visto y ahora que lo pienso después de leerte quizá \( := \), podría ser visto como la expansión de un concepto. Visto así, quizá no tenga sentido entonces eso que dices de "implicitamente la implicación se da en los dos sentidos". En cualquier caso, parece un símbolo metalógico general.

Saludos

[pierrot]

El \( := \) probablemente proviene de la computación, ya que es el operador de asignación de un lenguaje muy antiguo que fue Pascal. Por eso se usa para definir lo que está en el miembro izquierdo.

[argentinator]

Un símbolo al que se da una definición quiere decir que se le define en términos de algo previamente existente.
Una definición establece de por sí una equivalencia de los dos lados de la igualdad.

Si ponés A :=: B para querer decir que la definición es bilateral,
entonces estás diciendo que A se define como B y que B se define como A.
Eso es una definición circular, o recursiva, o como quieras llamarle,
y no estás definiendo nada.

Por otro lado, si yo ya sé de antemano que A y B son iguales,
dar una definición que diga que son iguales es una redundancia, aunque no es lógicamente incorrecto.

[manooooh]

Hola

Veamos. Hace un tiempo se creó un hilo donde se discutía por qué en las definiciones no se acostumbra decir "si y sólo si", ya que siempre es así, por más implícito que esté el "y sólo si".

Dos conjuntos son iguales si existe una biyección entre ambos

versus

Dos conjuntos son iguales si y sólo si existe una biyección entre ambos

En ambos casos, sintácticamente representan lo mismo: cuándo dos conjuntos son iguales.

Pero la segunda profundiza más la notación en el sentido de que explicita algo que podría no ser tan obvio para alguien..

Spoiler

Porque alguien podría verlo como que si sabemos entre dos conjuntos existe una biyección, luego son iguales y nada más.

Faltaría "aclararle" a esa persona que si sabe que dos conjuntos son iguales es porque existe una biyección entre ellos. Hay gente que no sabe esto.

[cerrar]

Entonces, en este mismo sentido, alguien que lee \( f(x):=\sin(x) \) podría decir que "En todos lados de mi entorno de trabajo cuando yo vea \( f(x) \), es que en realidad es \( \sin(x) \)".

Pero la realidad es que como se trata de una definición, entonces sabemos que el "y sólo si" está implícito, así que en mi entorno de trabajo (o el del libro donde lo lea), cuando yo vea \( \sin(x) \) es que será \( f(x) \), no hay otra posibilidad.

A eso me refiero yo: \( :=: \) en realidad sería lo mismo que \( := \), como "si" es lo mismo que "si y sólo si" en una definición matemática, nada más que quizás \( :=: \) pondría en evidencia algo que para alguien no sería tan obvio.

Saludos

[argentinator]

Es que := es un metasigno y no un signo.
Más educativo sería aprovechar para enseñar la diferencia.
Y si una notación no es clara, siempre se puede agregar una explicación en castellano que la aclare.

[feriva]

Hola, manooooh.

Dos conjuntos son iguales si existe una biyección entre ambos

¿No te habrás despistado?

Entre \( \{1,2,3\}
  \) y \( \{1,2,4\}
  \) existe una biyeccción y no son iguales.

Dos conjuntos son iguales si se contienen entre sí, si tienen los mismos elementos, no sólo si tienen la misma cantidad.

Saludos.