Hola, tengo el siguiente problema que no he podido resolver. Gracias por la ayuda de antemano.

Considere el siguiente problema:
\[ \displaystyle\sum_{t=1}^T{\sqrt[ ]{u_t}} \], \( {x_{t+1}}={x_t}-{u_t} \) donde \( t= 0,...,T-1, 0\leq{u_t}\leq{x_t} \) , \(  x_0\geq{0} \)

He hallado el \( {x_{T-t}}={a_t}\cdot{\sqrt[ ]{X_{T-t}}} \), \( {a_0}=1 \)

Necesito responder el siguiente Literal:

Use la ecuación de Bellman para hallar una solución del problema de continuación comenzando en \( T-t-1 \) y muestre que la ecuación en diferencia para \( a_t \) es \( {{a^{2}}_{t+1}}={{a^{2}}_{t}+{a_0}} \)

Hola, espero que este bien.

Estoy buscando una biyección entre\( \mathbb R \) y \( [0,\infty) \). Se me había ocurrido raiz de x. Sin embargo, no cumple con que todo el dominio sean los reales.

Agradezco su ayuda.

Gracias a los dos

Hola a todos, espero esten bien.

Me encuentro estancado con un problema demostrativo de isomorfismos. Les pido por favor me pueden ayudar.

Demuestre que el orden parcial \( (\mathbb N, div) \) no es isomorfo al orden parcial \( (P(\mathbb N), \subseteq{}) \)

Div hace referencia al orden generado por divisibilidad.

Les agradezco

Hola, espero se encuentren bien. Me acaban de dejar el siguiente problema y he planteado una solución, si embargo, no estoy seguro de que así sea, entonces espero su retroalimentación

1. El limite
\( \displaystyle\lim_{h\to0}\displaystyle\frac{ln(x+2h)}{h} \)

representa la derivada de una función en cierto punto. ¿De cuál punto y en qué punto?
SOLUCIÓN

\( \displaystyle\lim_{h\to0}\displaystyle\frac{ln(x+2h)}{h} = \lim_{h\to0}\displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \)

Note entonces, que \( ln(x+2h)=f(x+h)-f(x) \)
Por propiedades de logaritmación podemos escribir \( ln(x+2h)=ln(m(x+h))-ln(m(x)) \) para un tal m en el espacio de funciones.

\( ln(x+2h)=ln(\displaystyle\frac{m(x+h)}{m(x)}) \)

Note que para x=1/2 se cumple la expresion

\( ln(x+2h)=ln(\displaystyle\frac{1/2 + h}{1/2}) \)

Luego esa es la expresion de la derivada y se da en x=1/2.

Les Agradezco su ayuda, ya lo he podido resolver, por ello aquí dejo la versión de mi solución. (Cuya primera parte es de Luis Fuentes, quien me ayudo previamente en el problema)

1. (a) Un entero \( n \) con dígitos \( a_k, a_{k−1}, \ldots , a_1, a_0 \) es múltiplo de \( 3 \) si y sólo si la suma \( a_0 + a_1 +\ldots+ a_k \) es múltiplo de \( 3 \).

SOLUCIÓN

\( (\Rightarrow{}) \) (Créditos de esta parte a: Luis Fuentes)

Supongamos que n con dígitos \( a_k, a_{k−1}, \ldots , a_1, a_0 \) es múltiplo de \( 3 \).

Luego, podemos reescribir n como una suma de potencias de 10 alrededor de sus dígitos, de la siguiente forma:
\( n=a_0+a_1\cdot 10^1+a_2\cdot 10^2+\ldots+a_k\cdot 10^k \) (*)

Note que n sea múltiplo de 3 nos deja con la siguiente congruencia entre manos \(n\equiv 0 \quad \mod\quad 3\). Note también que \(10\equiv 1 \quad \mod\quad 3\). Gracias a ello, se puede reescribir la expresión de la siguiente forma:

\( a_0+a_1\cdot 1^1+a_2\cdot 1^2+\ldots+a_k\cdot 1^k\equiv 0\quad \mod\quad 3 \)
\( a_0+a_1+a_2+\ldots+a_k\equiv 0\quad \mod\quad 3 \)

Note que esa última expresión es lo que estabamos buscando, pues gracias a ella podemos asegurar que la suma de los dígitos de n es múltiplo de 3.

\( (\Leftarrow{}) \) La demostración es fácilmente invertible, por lo que no la escribiré, a menos de que alguien me lo solicite.

2. (b) Un entero \( n \) con dígitos \( a_k, a_{k−1}, \ldots , a_1, a_0 \) es múltiplo de \( 11 \) si y sólo si la suma \( a_0 + (-1)a_1 +\ldots+ (-1)^ka_k \) es múltiplo de \( 11 \)

Supongamos que n con dígitos \( a_k, a_{k−1}, \ldots , a_1, a_0 \) es múltiplo de \( 11 \).

Luego, podemos reescribir n como una suma de potencias de 10 alrededor de sus dígitos, de la siguiente forma:
\( n=a_0+a_1\cdot 10^1+a_2\cdot 10^2+\ldots+a_k\cdot 10^k \)

Note que n sea múltiplo de 11 nos deja con la siguiente congruencia entre manos \(equiv 0\quad \mod\quad 3 \). Note también que \(10\equiv 1\quad \mod\quad 11 \) \. Gracias a ello, se puede reescribir la expresión de la siguiente forma:
\( n=a_0+a_1\cdot (-1)^1+a_2\cdot (-1)^2+\ldots+a_k\cdot (-1)^k \equiv  0\quad \mod\quad 11 \)

Y esto nos demuestra que la suma de los dígitos es múltiplo de 11.

\( (\Leftarrow{}) \) La demostración es fácilmente invertible, por lo que no la escribiré, a menos de que alguien me lo solicite.

Hola! espero esten bien

He estado intentando ejercer las siguiente demostración de Sucesiones de Fibonacci(iniciando desde \( (F_0)=1 \))

Si n>0, entonces \( F_{n+1}\times{F_{n-1}}=((F_n)^2)-(-1)^n \).

Gracias de antemano.