[Cfromero]

Hola, tengo un problema que no sé como abordar, agradecería su ayuda y sus ideas. Ya que necesito probar esto, para determinar el grupo fundamental del conjunto \( U(n) \)

Sea \( U(n)=\{X\in C^{n\times n}:X^{*}X=XX^{*}=I_{n\times n}\} \). Demostrar que \( U(n) \) es CPT con respecto a la topologia determinada por la norma de Frobenius en \( C^{n\times n} \)

[geómetracat]

¿Qué significa CPT? Creo que es un acrónimo que no había visto nunca. De todas formas, puedes probar directamente que el conjunto de las matrices normales es contráctil, que te lo dice todo sobre su tipo de homotopía. La idea es que si \[ X \] es normal, entonces \[ \lambda X \] también lo es para todo \[ \lambda \geq 0 \]. Luego \[ H:N(n) \times [0,1] \to N(n) \] definida como \[ H(X,t) = t X \] es una homotopía entre la aplicación constante en \[ 0 \] y la identidad.

[Luis Fuentes]

Hola

¿Qué significa CPT? Creo que es un acrónimo que no había visto nunca. De todas formas, puedes probar directamente que el conjunto de las matrices normales es contráctil, que te lo dice todo sobre su tipo de homotopía. La idea es que si \[ X \] es normal, entonces \[ \lambda X \] también lo es para todo \[ \lambda \geq 0 \]. Luego \[ H:N(n) \times [0,1] \to N(n) \] definida como \[ H(X,t) = t X \] es una homotopía entre la aplicación constante en \[ 0 \] y la identidad.

Creo que CPT="conexo por trayectorias".

Saludos.

[geómetracat]

Creo que CPT="conexo por trayectorias".

Gracias, tiene bastante sentido sí. Entonces, es un caso particular de lo que puse antes: si \[ X \] es una matriz normal cualquiera, \[ \gamma(t)=tX \] es un camino de matrices normales que une \[ 0 \] con \[ X \], así que podemos conectar por un camino en \[ N(n) \] dos matrices normales cualesquiera.

[Cfromero]

Hola, considerando entonces que el conjunto de matrices normales es contractil, implica que es simplemente conexo? Es decir, que en efecto es conexo por trayectorias y que a demás su grupo fundamental es trivial?

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, considerando entonces que el conjunto de matrices normales es contractil, implica que es simplemente conexo? Es decir, que en efecto es conexo por trayectorias y que a demás su grupo fundamental es trivial?

Si.

Saludos.