[teeteto]

La afirmación del problema es verdadera, veamoslo:
Como f:[0,1]-->[0,1] es continua y 1/2 no está en su imagen, está claro que debe ser f(x)>1/2 para todo x o bien f(x)<1/2 para todo x. (esto es porque la imagen de [0,1] debe ser otro intervalo cerrado y acotado)

En el caso f(x)>1/2 para todo x basta tomar x=0 y cumple el enunciado |f(0)-0|>1/2

En el caso f(x)<1/2 se toma x=1 y entonces |f(1)-1|=1-f(1)>1-1/2=1/2

Un saludo a todos.

[asp]

Hola, veámoslo gráficamente:

|f(x)-x| es la distancia entre las imágenes, en x, de las funciones y=f(x)   e   y=x .

Como dice teeteto está claro que debe ser f(x)>1/2 para
todo x o bien f(x)<1/2 para todo x (ver las dos gráficas adjuntas en las que se presenta cada una de estas dos situaciones).

Entonces se observa claramente lo que afirma teeteto: En el caso f(x)>1/2 para todo x basta tomar x=0 y cumple el enunciado |f(0)-0|>1/2
En el caso f(x)<1/2 se toma x=1 y entonces |f(1)-1|=1-f(1)>1-1/2=1/2

Saludos

[teeteto]

Bonitos dibujos...a lo mejor debí incluir uno en mi exposición para aclararla un poco.

Yo es que hago un poco como Weierstrass, que en toda su obra sólo aparece un único dibujo.