[josepapaiii]

Hola, tengo el siguiente ejercicio:

Sea \( f:[0,1]\longrightarrow \mathbb{Q} \) una función continua. Demuestra que es constante.

Creo que primeramente antes de demostrar algo, intuitivamente habría que tenerlo claro, pues ni una cosa ni la otra. Si alguien pudiese echarme una mano lo agradecería.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, tengo el siguiente ejercicio:

Sea \( f:[0,1]\longrightarrow \mathbb{Q} \) una función continua. Demuestra que es constante.

Creo que primeramente antes de demostrar algo, intuitivamente habría que tenerlo claro, pues ni una cosa ni la otra. Si alguien pudiese echarme una mano lo agradecería.

La cosa es que

(1) entre dos racionales siempre hay números que NO son racionales

(2) por otra parte si una función continua definida en un intervalo toma dos valores distintos en un dos puntos por ser continua, la función también toma todos los valores intermedios. Pero eso entra en conflicto con (1).

Saludos:

[josepapaiii]

Hola

Hola, tengo el siguiente ejercicio:

Sea \( f:[0,1]\longrightarrow \mathbb{Q} \) una función continua. Demuestra que es constante.

Creo que primeramente antes de demostrar algo, intuitivamente habría que tenerlo claro, pues ni una cosa ni la otra. Si alguien pudiese echarme una mano lo agradecería.

La cosa es que

(1) entre dos racionales siempre hay números que NO son racionales

(2) por otra parte si una función continua definida en un intervalo toma dos valores distintos en un dos puntos por ser continua, la función también toma todos los valores intermedios. Pero eso entra en conflicto con (1).

Saludos:

Gracias por la respuesta, Luis. Es decir, no existen dos racionales que sea uno seguido del otro en la recta real, es decir, después de un racional habrá siempre un irracional y nunca su siguiente racional.

Quizás la pregunta está muy mal realizada, no sé si me he explicado.

[Fernando Revilla]

Es decir, no existen dos racionales que sea uno seguido del otro en la recta real, es decir, después de un racional habrá siempre un irracional y nunca su siguiente racional. Quizás la pregunta está muy mal realizada, no sé si me he explicado.

Es que lo de "seguido" creo que lo interpretas como que dados dos racionales distintos \( a<b \) de la recta no hay ningún racional entre ellos y como  tú lo ves, dirías que el siguiente racional al \( a \) es el \( b \). Pero, \( \displaystyle\frac{a+b}{2} \) es racional con \( a<\displaystyle\frac{a+b}{2}<b  \), es decir lo del "siguiente racional al racional \( a \)" no tiene sentido.

[josepapaiii]

Es decir, no existen dos racionales que sea uno seguido del otro en la recta real, es decir, después de un racional habrá siempre un irracional y nunca su siguiente racional. Quizás la pregunta está muy mal realizada, no sé si me he explicado.

Es que lo de "seguido" creo que lo interpretas como que dados dos racionales distintos \( a<b \) de la recta no hay ningún racional entre ellos y como  tú lo ves, dirías que el siguiente racional al \( a \) es el \( b \). Pero, \( \displaystyle\frac{a+b}{2} \) es racional con \( a<\displaystyle\frac{a+b}{2}<b  \), es decir lo del "siguiente racional al racional \( a \)" no tiene sentido.

Vale, entonces entre \( a \) y \( \displaystyle\frac{a+b}{2} \) lo que hay son irracionales, ¿es correcto? o estoy herrando en intentar entenderlo llenando los "huecos" que habría en la recta real.

[Juan Pablo Sancho]

Vale, entonces entre \( a \) y \( \displaystyle\frac{a+b}{2} \) lo que hay son irracionales, ¿es correcto? o estoy herrando en intentar entenderlo llenando los "huecos" que habría en la recta real.

Entre dos números siempre hay racionales  e irracionales.

[josepapaiii]

Vale, creo que ya tengo herramientas suficientes para escribirlo. Gracias a ambos.