[Ful]

Hola,

Tengo una duda: me piden la dimensión de la suma de los subespacios siguientes: \( H_1=\{(x+y,x,-by,0) \in \Bbb R^4\} \) 
y \( H_2=\{(a,2b-a,0,b) \in \Bbb R^4\} \). El problema es que la solución posible es \( 2 \),\(  3 \), ó \( 4 \) ....y no sé si va a depender del valor de \( b \) ?

Gracias de antemano
Mensaje corregido desde la administración.

[delmar]

Hola


\( H_1=\left\{{(x+y,x,-by,0) \ \ x,y,b\in{R}}\right\} \) se puede poner de la siguiente forma \( H_1=\left\{{x(1,1,0,0)+y(1,0,-b,0) \ \ x,y,b\in{R}}\right\} \), para que \( H_1 \) sea un subespacio b ha de ser un constante real (verificar) y será de dimensión 2, los vectores generadores son linealmente independientes. El otro subespacio se puede poner de esta forma \( H_2=\left\{{a(1,-1,0,0)+b(0,2,0,1)}\right\} \) pero al ser b una constante real \( H_2 \) será subespacio únicamente si b=0 en esas condiciones \( H_1+H_2 \) será el subespacio generado por los vectores (1,1,0,0), (1,0,0,0), (1,-1,0,0) Entonces averigua la dimensión de ese subespacio

Saludos

[Ful]

Gracias por la respuesta.
Cuando dices que \( H_1 \) será subespacio si \( b \) es constante real ... lo de verifica , ¿a qué te refieres? Valga lo que valga \( b \): 0, 1, etc... \( H_1 \) será subespacio, ¿no?
Y si \( b=1 \),   ¿ \( H_2 \) sería subespacio de dim \( 2 \)?
Gracias...no lo veo claro 

[delmar]

En forma general tal como esta definido \( H_1 \) se tiene que los vectores determinados por \( x_1=2, \ y_1=3, \ b_1=1; x_2=-3, \ y_2=4, \ b_2=2 \) es decir respectivamente \( (2+3,2,-(1)3,0) , \ (-3+4, -3, -(2)4,0)\in{H_1} \) por el hecho que la condición es que \( x,y,b\in{R} \) evidentemente en forma general todas esas variables pueden tomar cualquier valor real; pero el hecho que \( H_1 \) sea un subespacio lineal, implica que b es una constante real  ejemplos de subespacios tenemos :

\( H_1=\left\{{x(1,1,0,0)+y(1,0,-2,0)}\right\} \  \ H_1=\left\{{x(1,1,0,0)+y(1,0,3,0)}\right\} \) observa que ambos subespacios son de dimensión 2, en el primer subespacio b=-2 en el segundo b=3, esa necesidad de constancia de b, puede demostrarse aplicando las condiciones para que \( H_1 \) sea subespacio, se supone que \( b_1\neq b_2 \) y se verá que no cumple , no habrá un subespacio \( H_1 \) tal que \( (2+3,2,-(1)3,0) , \ (-3+4, -3, -(2)4,0)\in{H_1} \)

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Tengo una duda: me piden la dimensión de la suma de los subespacios siguientes: \( H_1=\{(x+y,x,-by,0) \in \Bbb R^4\} \) 
y \( H_2=\{(a,2b-a,0,b) \in \Bbb R^4\} \). El problema es que la solución posible es \( 2 \),\(  3 \), ó \( 4 \) ....y no sé si va a depender del valor de \( b \) ?

Por añadir algo más, el enunciado no está muy bien escrito. Debería de decir que variables son constantes y cuáles no. En el caso de H_1 si \( x,y,b \) pudiesen tomar cualquier valor. Entonces:

- para \( x=1 \) \( y=-1 \) \( b=0 \), \( (0,1,0,0)\in H_1 \)
- para \( x=0 \) \( y=1 \) \( b=-1 \), \( (1,0,1,0)\in H_1 \)

Si fuese subespacio la suma de los dos vectores debería de ser un vector de \( H_1 \), pero \( (0,1,0,0)+(1,0,1,0)=(1,1,1,0) \). Y si \( (1,1,1,0)=(x+y,x,-yb,0) \) entonces \( x=1,y=0 \) e \( -yb=1 \) lo cuál es imposible.

No creo que el problema pretenda que de discuta esta cuestión; simplemente como he dicho al principio, creo que no está bien enunciado o incluso puede que tenga alguna errata.

Saludos.

[Ful]

Muchas gracias a los dos.
Puede ser que haya una errata...Lo copié de un examen tipo test....y ponía como posibles soluciones: 2,3 y 4...pero la b en el subespacio H1...me despista mucho, ya que el enunciado es muy escueto y no dice nada de discutir según el valor de b.....solo pone que calcules la dim de H1 + H2