Hola, tengo una duda si estoy haciendo esto bien, pero a la vez la duda es en la escalerización de la matriz 
Hallar la ec de la recta que pasa por \( (1,1,1) \) y intersecta perpendicularmente a la recta \( r \):
\( \begin{cases} x=4+3\lambda \\ y=-2-2\lambda \\ z=2-\lambda \end{cases} \)
...
No es para lío ni tal cantidad de variable, hazlo como te dice Luis o Abdulai y deja tanto sistema para mejor ocasión.
Es muy sencillo:
Cualquier punto de la recta que te dan en paramétricas es en general de la forma
\( (4+3\lambda),\,(-2-2\lambda),(2-\lambda) \)
y, por tanto, el punto de corte tiene esa forma y pertenece a ambas rectas.
El punto (1,1,1) también pertenece a la recta que te piden. En consecuencia, la diferencia entre esos puntos da el vector de la recta que buscas, perpendicular a la recta dada:
\( [(4+3\lambda-1),\,(-2-2\lambda-1),(2-\lambda-1)]= \)
\( w=[(3+3\lambda),\,(-3-2\lambda),(1-\lambda)] \).
El vector de la recta dada, \( v=(3,-2,-1) \), por producto escalar con w da cero:
\( w\cdot v=[(3+3\lambda),\,(-3-2\lambda),(1-\lambda)]\cdot(3,-2,-1)=0 \).
\( 9+9\lambda+6+4\lambda-1+\lambda=0\Rightarrow \)
\( 14\lambda+14=0\Rightarrow \)
\( \lambda=-1 \)
Sustituyendo en \( w=[(3+3\lambda),\,(-3-2\lambda),(1-\lambda)] \) ya tienes w
\( w=\beta(0,\,-1,2) \).
No ha hecho falta usar más que la variable lambda, la beta es para formar la ecuación vectorial:
\( (x,y,z)=(1,1,1)+\beta(0,-1,2) \).
(*
Si no me he equivocado)
Está bien; estaba volviéndome loco y había cambiado el signo del -1 pasajeramente
Las ecuaciones coinciden para lambda=-1 y beta=1 en el punto de corte \( (x,y,z)=(1,0,3) \)
\( \begin{cases}
x=4+3\lambda= & 1\\
y=-2-2\lambda= & 1-\beta\\
z=2-\lambda= & 1+2\beta
\end{cases} \)
Y de aquí la puedes expresar en paramétricas, como la que te dan, o de la forma que quieras.
Saludos.
