Hola a todos.
Leyendo el libro
Matemáticas y Literatura de Marta Macho me ha llamado especialmente la atención las matemáticas que hay detrás de cierta composición poética conocida como
sextina. Buscando más información he consultado el
artículo citado en dicho libro, pero tengo dudas con cierta demostración.
Por dejar todo claro, pongo aquí las definiciones relevantes a mi duda:
Se define cierta permutación \( \delta_n \) de \( S_n \) como
\(
\delta_n(x)=\begin{cases}{2x}&\text{si}& 2x \leq n\\2n+1-2x & \text{si}& 2x>n\end{cases}
\)
Y se dice entonces que un natural \( n \) es admisible o un número de Queneau si el orden de \( \delta_n \) es \( n \).
En el artículo que he enlazado se caracteriza este tipo de números y para ello se comienza demostrando que si \( n \) es admisible, entonces \( 2n+1 \) es primo. En esta demostación (y en los puntos similares de las siguientes) es donde tengo una duda que paso a exponer.
Como mi francés es bastante malo, dejo el texto original así como mi traducción (con alguna pequeña corrección en rojo sobre lo que creo que son erratas):
Texto original:Reprenons seulement de [Bringer, 1969] la preuve que \( 2n + 1 \) est forcément premier. Sinon, il existe \( q \) un diviseur de \( 2n + 1 \) avec \( q > 1 \). Dans ce cas, pour tout \( m \) de l’orbite de \( q \), on a \( m \equiv (−1)^e2^kq \). Ce qui implique forcément que \( q \) divise \( m \) puisqu’il divise à la fois \( 2n + 1 \) et \( (−1)^e2^kq \). Donc l’orbite de \( q \) ne contient que des diviseurs de \( q \). Or, \( 1, \cdots , q − 1 \) ne divisent pas \( q \) donc l’orbite de \( q \) ne peut être complète. Par la suite \( 2n + 1 \) ne peut être admissible.
Traducción:Tomemos solamente de [Bringer, 1969] la prueba de que \( 2n + 1 \) es necesariamente primo. En caso contrario, existe \( q \) un divisor de \( 2n + 1 \) con \( q > 1 \). En este caso para todo \( m \) de la órbita de \( q \), tenemos \( m \equiv (−1)^e2^kq \color{red}{\mod (2n+1)} \). Esto implica necesariamente que \( q \) divide \( m \) ya que divide tanto a \( 2n + 1 \) como a \( (−1)^e2^kq \). Entonces la órbita de \( q \) solo contiene múltiplos de \( q \). Ahora, \( 1, \cdots , q − 1 \) no son múltiplos de \( q \) por lo que la órbita de q no puede estar completa. Por tanto, \( \color{red} n \) no puede ser admisible.
Mi duda es con la conclusión final, sobre como el saber que hay elementos que no están en la órbita de \( q \) implica que entonces \( \delta_n \) no puede tener orden \( n \). Esto, en general es falso, pues por ejemplo tomando la permutación \( (1,2)(3,4,5) \) de \( S_6 \) tiene orden \( 6 \), pero, por ejemplo, el \( 3 \) no está en la órbita del \( 1 \).
No se si estoy entendiendo algo mal en la traducción, o hay algo que no termino de ver para las permutaciones \( \delta_n \).
Un saludo y gracias por las respuestas.
