[Ful]

Buenas noches. Estoy estudiando Álgebra y tengo dos dudas.
1) Dadas dos matrices cuadradas A y B. Son semejantes si \( A^{-1} = B^t \), es decir si la inversa de \( A \) = la traspuesta de \( B \). ¿Verdadero o falso ? Creo que es falso, pero no encuentro un contraejemplo claro.

2) Toda matriz antisimétrica es diagonalizable. ¿Veradero o falso? Creo que es falso. Por ejemplo, la matriz \( A=\begin{pmatrix}{\phantom{-} 0}&{1}\\{-1}&{0}\end{pmatrix} \)

Gracias de antemano !!

Bienvenido al foro.

Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

Por esta vez te hemos corregido el mensaje desde la administración.

[feriva]

Buenas noches. Estoy estudiando Álgebra y tengo dos dudas.
1) Dadas dos matrices cuadradas A y B. Son semejantes si A^(-1) = B(t), es decir si la inversa de A = la traspuesta de B? Verdadero o falso ? Creo que es falso, pero no encuentro un contraejemplo claro.

Considera una matriz diagonalizable; entonces la otra es una matriz de Jordan, una matriz diagonal. Busca un contraeejemplo sencillo con eso, con una matriz de \( 2\times 2 \).

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas noches. Estoy estudiando Álgebra y tengo dos dudas.
1) Dadas dos matrices cuadradas A y B. Son semejantes si \( A^{-1} = B^t \), es decir si la inversa de \( A \) = la traspuesta de \( B \). ¿Verdadero o falso ? Creo que es falso, pero no encuentro un contraejemplo claro.

Si dos matrices son semejantes entonces tienen que tener los mismos autovalores.

Entonces si tomas \( A=\begin{pmatrix}{1}&{0}\\{0}&{1/2}\end{pmatrix} \) y \( B=A^{-1}=\begin{pmatrix}{1}&{0}\\{0}&{2}\end{pmatrix} \), se cumple \( A^{-1}=B^t \) pero NO son semejantes.

2) Toda matriz antisimétrica es diagonalizable. ¿Veradero o falso? Creo que es falso. Por ejemplo, la matriz \( A=\begin{pmatrix}{\phantom{-} 0}&{1}\\{-1}&{0}\end{pmatrix} \)

Correcto. La matriz que indicas NO es diagonalizable  (en \( \Bbb R \)). Sus autovalores no son reales.

Saludos.

[Ful]

Gracias Luis.
Pero esa matriz, ¿podriamos decir que es diagonalizable en \( \Bbb C \) ?  Los autovalores son \( \pm i \).
Mensaje corregido desde la administración.

[Luis Fuentes]

Hola

Gracias Luis.
Pero esa matriz, ¿podriamos decir que es diagonalizable en \( \Bbb C \) ?  Los autovalores son \( \pm i \).
Mensaje corregido desde la administración.

Si, una matriz con todos sus autovalores (reales o quizá complejos) distintos es siempre diagonalizable.

De hecho toda matriz real antisimétrica es diagonalizable en los complejos.

Saludos.