[carambola]

Sea $$f:[0,+\infty) \to (0, + \infty)$$ continua. Probad que la siguiente función es creciente en $$[0, + \infty)$$

$$ g(x) =\begin{cases}{\frac{\displaystyle\int_{0}^{x}tf(t)dt}{\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)dt}}&\text{si}& x \neq 0\\0 & \text{si}& x = 0\end{cases}$$


Graciass

[Luis Fuentes]

Hola

Sea $$f:[0,+\infty) \to (0, + \infty)$$ continua. Probad que la siguiente función es creciente en $$[0, + \infty)$$

$$ g(x) =\begin{cases}{\frac{\displaystyle\int_{0}^{x}tf(t)dt}{\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)dt}}&\text{si}& x \neq 0\\0 & \text{si}& x = 0\end{cases}$$

Comprueba que \( g'(x)>0 \) para \( x>0 \). Para ello haz las cuentas y comprueba que equivale a verificar que:

\( x\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)dt>\color{red}\cancel{x}\color{black}\displaystyle\int_{0}^{x}tf(t)dt \)

Equivalentemente:

\( \displaystyle\int_{0}^{x}(x-t)f(t)dt>0 \)

Concluye...

Saludos.

CORREGIDO

[carambola]

He hecho la derivada pero no se como llegas a la primera igualdad que me ex¡scribes. He llegado  a que

$$ g'(x) \geq{0} \Longleftrightarrow{} xf(x) \displaystyle\int_{0}^{x}(f(t)dt) - f(x)\displaystyle\int_{0}^{x}(tf(t)dt) + f(0)\displaystyle\int_{0}^{x}(tf(t)dt)$$

[Luis Fuentes]

Hola

 Tenía una errata que he corregido.

He hecho la derivada pero no se como llegas a la primera igualdad que me ex¡scribes. He llegado  a que

$$ g'(x) \geq{0} \Longleftrightarrow{} xf(x) \displaystyle\int_{0}^{x}(f(t)dt) - f(x)\displaystyle\int_{0}^{x}(tf(t)dt)\color{red} + f(0)\displaystyle\int_{0}^{x}(tf(t)dt)\color{black}$$

No entiendo de donde sacas el término que he marcado en rojo.

Saludos.

[carambola]

Equivalentemente:

\( \displaystyle\int_{0}^{x}(x-t)f(t)dt>0 \)

Concluye...

Saludos.

CORREGIDO

Tenías razón ese término con f(0) sobraba. Ahora como concluímos
 el final?

[Luis Fuentes]

Hola

Tenías razón ese término con f(0) sobraba. Ahora como concluímos
 el final?

¿Qué has intentado?¿Exactamente qué es lo que no logras concluir?.

Saludos.

[carambola]

Hola

Tenías razón ese término con f(0) sobraba. Ahora como concluímos
 el final?

¿Qué has intentado?¿Exactamente qué es lo que no logras concluir?.

Saludos.

Que $$\displaystyle\int_{0}^{x}(x-t) f(t)dt > 0$$

[Luis Fuentes]

Hola

Que $$\displaystyle\int_{0}^{x}(x-t) f(t)dt > 0$$

Simplemente eso es la integral de una función estrictamente positiva en \( (0,x) \) y continua.

Saludos.