Hola tengo dudas con este ejercicio:
En \( \mathbb{R} \)con la métrica usual, defina la sucesión \( \{ x_n \}_{n \in \mathbb{N}} \) para
$$x_n = \displaystyle\int_{1}^{n} \displaystyle\frac{\cos t}{t^2} dt.$$
Pruebe que \( \{ x_n \}_{n \in \mathbb{N}} \) es una sucesión de Cauchy
Lo que he hecho:
Consideremos \( |x_n-x_m| \) sin perder generalidad con \( m>n \). Tenemos que:
\( \left|x_n-x_m\right|=\displaystyle \left|\int_0^n\frac{\cos(t)}{t^2}\,dt-\int_0^m\frac{\cos(t)}{t^2}\,dt\right|=\left|\int_n^m\frac{\cos(t)}{t^2}\,dt\right|. \)
Ahora podemos usar que: \( |\int|\leq\int|\cdots| \).
¿Como puedo llegar a esto \( \left| \displaystyle \int_n^m\frac{\cos(t)}{t^2}\,dt\right|\leq \displaystyle \int_n^m\frac{|\cos(t)|}{t^2}\,dt\leq\int_n^m\frac{dt}{t^2}. \)
y probar que la suceción es de Cauchy.
Saludos