Autor Tema: Volumen en coordenadas polares

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23 Marzo, 2020, 09:52 am
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garmonvir

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Buenos días,
 
Tengo un ejercicio en el que debo calcular el volumen acotado entre los paraboloides
\( z=x^2+y^2 \) y \( z=2x^2+y^2-1 \) usando coordenadas polares.

Mi problema está en que no veo los límites de integración porque no soy capaz de ver cual es la proyección sobre el plano XY.

Gracias

23 Marzo, 2020, 11:04 am
Respuesta #1

Ignacio Larrosa

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¿Tienes bien el enunciado? Porque esos paraboloides no limitan ningún volumen finito. Si es

\( z=f(x,y)=x^2+y^2 \)
\( z=g(x,y)=2x^2+y^2-1 \)

Tenemos que la intersección es
\( x^2+y^2=2x^2+y^2-1\Rightarrow{}x=\pm{}y \)

La proyección en el plano \( OXY \) son las rectas \( x=\pm{}1 \)

Tenemos que es f>g entre esas rectas y g>f fuera de ellas, y ninguno de los dos volumenes es finito.
Para el primero, sería:
\( V=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\int_{-1}^{1}(f-g)dx dy=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\int_{-1}^{1}(1-x^2)dx dy=
\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{4}{3} dy=\infty \)


Saludos,


Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

23 Marzo, 2020, 11:41 am
Respuesta #2

garmonvir

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Gracias, puede ser que en la hoja de problemas tenga una errata, lo preguntaré al profesor.

Muchas gracias