[SebasMM]

Hola a todos!
He estado atorado un par de días en el siguiente problema, lo que debo hacer es determinar la región \( R=\left\{{z\in{\mathbb{C}}:Re(z-i)+Im(\sqrt[ ]{i\cdot{z}})>0}\right\} \), he probado haciendo el cambio a coordenadas polares, coordenadas cartesianas, pero no he llegado a nada revelador, me podrían dar sugerencias de cómo atacar el problema? Muchas gracias, saludos.

[Fernando Revilla]

.. determinar la región \( R=\left\{{z\in{\mathbb{C}}:Re(z-i)+Im(\sqrt[ ]{i\cdot{z}})>0}\right\} \), ...

Expresa \( z=x+iy \) con \( x,y\in \mathbb{R} \). Entonces \( \text{Re }(z-i)=x. \) Por otra parte, \( \sqrt{iz}=\sqrt{-y+ix}=a +ib \) con \( a,b\in \mathbb{R} \). Hay que determinar \( b=\text{Im }\sqrt{-y+ix} \). Para ello, desarrollando \( (a+ib)^2=-y+ix \) e igualando partes real e imaginaria obtendrás una ecuación bicuadrada en \( b \) que te permitirá expresar \( b \) en función de \( x \) e \( y \).

[SebasMM]

Muchas gracias Fernando!
En efecto me quedó dicha ecuación bicuadrada, ahora sólo me falta analizar los posibles casos, de nuevo gracias, saludos

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.. determinar la región \( R=\left\{{z\in{\mathbb{C}}:Re(z-i)+Im(\sqrt[ ]{i\cdot{z}})>0}\right\} \), ...

Expresa \( z=x+iy \) con \( x,y\in \mathbb{R} \). Entonces \( \text{Re }(z-i)=x. \) Por otra parte, \( \sqrt{iz}=\sqrt{-y+ix}=a +ib \) con \( a,b\in \mathbb{R} \). Hay que determinar \( b=\text{Im }\sqrt{-y+ix} \). Para ello, desarrollando \( (a+ib)^2=-y+ix \) e igualando partes real e imaginaria obtendrás una ecuación bicuadrada en \( b \) que te permitirá expresar \( b \) en función de \( x \) e \( y \).

Hola Fernando, en \( \sqrt{iz}=\sqrt{-y+ix}=a +ib \), ¿Cómo eliges \( \mathbb{a,b \in} \mathbb{R} \) de modo que siempre resulte de esa expresión la raíz cuadrada principal?

[Fernando Revilla]

Hola Fernando, en \( \sqrt{iz}=\sqrt{-y+ix}=a +ib \), ¿Cómo eliges \( \mathbb{a,b \in} \mathbb{R} \) de modo que siempre resulte de esa expresión la raíz cuadrada principal?

¿Cómo defines la raíz cuadrada principal? Y en su caso, ¿por qué has de elegir esta?

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Hola Fernando, en \( \sqrt{iz}=\sqrt{-y+ix}=a +ib \), ¿Cómo eliges \( \mathbb{a,b \in} \mathbb{R} \) de modo que siempre resulte de esa expresión la raíz cuadrada principal?

¿Cómo defines la raíz cuadrada principal? Y en su caso, ¿por qué has de elegir esta?

Sí, pero no se me ocurre dar una fórmula compacta, de la forma \( a:=a(x,y) \) \( b:=b(x,y) \), de forma que sea siempre la raíz principal, dependerá en que cuadrante este \( -y + ix \) ¿no?

[Fernando Revilla]

Sí, pero no se me ocurre dar una fórmula compacta, de la forma \( a:=a(x,y) \) \( b:=b(x,y) \), de forma que sea siempre la raíz principal, dependerá en que cuadrante este \( -y + ix \) ¿no?

Perdona que insista latex, pero no me dices a que llamas raíz cuadrada priincipal de un número complejo. En mi blog (http://fernandorevilla.es/blog/2015/02/07/raiz-cuadrada-de-un-numero-complejo/) verás que se demuestra una fórmula genérica para tales raíces. En concreto,

          \( \displaystyle\sqrt{x+yi}=\pm \left(\sqrt{\frac{x+ \sqrt{x^2+y^2}}{2}}+\sqrt{\frac{-x+ \sqrt{x^2+y^2}}{2}}i\right)\text{ si }y>0, \)
         \( \displaystyle\sqrt{x+yi}=\pm \left(\sqrt{\frac{x+ \sqrt{x^2+y^2}}{2}}-\sqrt{\frac{-x+ \sqrt{x^2+y^2}}{2}}i\right)\text{ si }y<0. \) 

¿A cuál de ellas le llamas raíz principal?

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Sí, pero no se me ocurre dar una fórmula compacta, de la forma \( a:=a(x,y) \) \( b:=b(x,y) \), de forma que sea siempre la raíz principal, dependerá en que cuadrante este \( -y + ix \) ¿no?

Perdona que insista latex, pero no me dices a que llamas raíz cuadrada priincipal de un número complejo. En mi blog (http://fernandorevilla.es/blog/2015/02/07/raiz-cuadrada-de-un-numero-complejo/) verás que se demuestra una fórmula genérica para tales raíces. En concreto,

          \( \displaystyle\sqrt{x+yi}=\pm \left(\sqrt{\frac{x+ \sqrt{x^2+y^2}}{2}}+\sqrt{\frac{-x+ \sqrt{x^2+y^2}}{2}}i\right)\text{ si }y>0, \)
         \( \displaystyle\sqrt{x+yi}=\pm \left(\sqrt{\frac{x+ \sqrt{x^2+y^2}}{2}}-\sqrt{\frac{-x+ \sqrt{x^2+y^2}}{2}}i\right)\text{ si }y<0. \) 

¿A cuál de ellas le llamas raíz principal?

Según lo leído en teoría es la siguiente \( \sqrt[ ]{z}=|z|^{1/2}_{arg(z)/2} \) (expresando el número complejo en forma polar) , a lo que me surgía la siguiente duda. Cuando quieres calcular \( a,b\in \mathbb{R} \), siguiente el procedimiento que indicas resulta que la raíz principal varía según se tome \( z\in \mathbb{C} \), por tanto debiéramos tener estas consideraciones para el cálculo de \( Im(iz) \), teniendo en cuenta en que región se sitúe \( z\in\mathbb{C} \), ¿no?

Saludos

[Fernando Revilla]

Según lo leído en teoría es la siguiente \( \sqrt[ ]{z}=|z|^{1/2}_{arg(z)/2} \) (expresando el número complejo en forma polar) , a lo que me surgía la siguiente duda. Cuando quieres calcular \( a,b\in \mathbb{R} \), siguiente el procedimiento que indicas resulta que la raíz principal varía según se tome \( z\in \mathbb{C} \), por tanto debiéramos tener estas consideraciones para el cálculo de \( Im(iz) \), teniendo en cuenta en que región se sitúe \( z\in\mathbb{C} \), ¿no?

Bien, sea \( z=x+yi \). Si \( y>0 \) entonces \( 0 < \arg z < \pi \) con lo cual \( 0 < (\arg z)/2 < \pi 2 \) y la raíz cuadrada principal estaria en el primer cuadrante, esto es:

          \( \displaystyle\sqrt{x+yi}=\sqrt{\frac{x+ \sqrt{x^2+y^2}}{2}}+\sqrt{\frac{-x+ \sqrt{x^2+y^2}}{2}}i \)

Si \( y<0 \) entonces \( -\pi < \arg z < 0 \) con lo cual \( -\pi/2 < (\arg z)/2 < 0 \) y la raíz cuadrada principal estaria en el cuarto cuadrante, esto es:

          \( \displaystyle\sqrt{x+yi}=\sqrt{\frac{x+ \sqrt{x^2+y^2}}{2}}-\sqrt{\frac{-x+ \sqrt{x^2+y^2}}{2}}i \)

El caso \( y=0 \) es trivial. Procede ahora de manera análoga con \( \sqrt{iz}=\sqrt{-y+xi} \) cambiando los papeles de \( x \) por \( -y \) y de \( y \) por \( x \).