[Luis Fuentes]

Hola

 Sea:

 \( w(p)=e^{-(-ln(p))^a} \)
 \( g(p)=w(p)+w(b-p) \)

 Se trata de demostrar que el mínimo de \( g(p) \) se alcanza o bien en \( p=0 \) ó en \( p=b/2 \).

 Dado que \( g'(b/2)=0 \) es claro que en \( b/2 \) hay un extremo local, aunque no es un mínimo para cualquier valor de \( b \).

 Gráficamente se puede ver que \( g(p) \) puede tener un único punto crítico más en \( [0,p/2] \) pero que en ningún caso es un mínimo. Se trata de verificar esto analíticamente.

 Tenemos que:

\(  g'(p)=w'(p)-w'(b-p) \) 

 Los puntos críticos verifican \( w'(p)=w'(b-p) \). Operando:

\(  w'(p)=\dfrac{ae^{-(-ln(p))^a}(-ln(p))^{a-1}}{p} \)

 Si llamamos:

\(  f(p)=ln(w'(p)/a)=-(-ln(p))^a+(a-1)ln(-ln(p))-ln(p) \)

 Los puntos críticos soluciones de \( g'(p)=0 \) equivalen a las soluciones de \( t(p)=f(p)-f(b-p) \).

 Se tiene que \( f'(p)=-\dfrac{1}{p}+\dfrac{a(-ln(p))^{a-1}}{p}+\dfrac{a-1}{pln(p)} \), pero no es cierto que \( f'(p) >0 \) ó \( f'(p)<0 \) en el intervalo \( [0,b/2] \) sino que en ese intervalo pueda cambiar de signo, como puede verse en la gráfica:



Saludos.

[Quema]

A mi me da otra cosa, para \( a=0.5 \) claramante \( f'(p) \) es negativa en todo el intervalo. Mmm. capaz que en el gráfico, lo que pienso que es \( p=0 \) no lo es.

[Luis Fuentes]

Hola

A mi me da otra cosa, para \( a=0.5 \) claramante \( f'(p) \) es negativa en todo el intervalo. Mmm. capaz que en el gráfico, lo que pienso que es \( p=0 \) no lo es.

Pero antes de nada. ¿Qué función estás graficando? Pongámonos de acuerdo en que hablamos de las mismas funciones; la que veo en el PDF no me parece que sea la que yo he indicado en mi primer mensaje.

Saludos.

[Quema]

Hola

En realidad yo expreso (creo que es lo mismo).

\( t(p)=(-ln(b-p))^a+(1-a)ln(-ln(b-p))+ln(b-p)-(-ln(p))^a-(1-a)ln(-ln(p))-ln(p) \)


Y quiero probar que solamente tiene dos raíces para \( p\in[0,b/2] \), una de las cuales es la trivial que es \( p=b/2 \). Ahora, una forma de probar que hay solamente otra raíz, es probando que \( t(p) \) es convexa.

Entonces me queda

\( t''(p)=m(b-p)-m(p) \) siendo

\( m(p)=\frac{(log(p) (-a (-log(p))^a + a - 1) + (a - 1) (a (-log(p))^a + 1) - log^2(p))}{(p^2 log^2(p))} \)

Y como \( t''(0)>0 \) y \( t''(b/2)=0 \) probando que \( -m'(b-p)-m'(p)<0 \) pruebo que \( t(p) \) es convexa. Que es equivalente a probar que \( m'(p)>0 \) para todo \( p\in[0,b]. \)

Ahora, \( m'(p)=\frac{(a - 1) (a^2 (-log(p))^a - 2 a (-log(p))^a - 2) + 2 log^2(p) (a ((-log(p))^a - 1) + 1) - 3 (a - 1) log(p) (a (-log(p))^a + 1) + 2 log^3(p)}{p^3 log^3(p)} \)

Y esto, creo que es positivo, para \( a=0.5 \) me queda como el adjunto. Me estoy dando cuenta que tengo mal este razonamiento, pues tengo que probar además que \( m'(p)>0 \) para \( p\in(b/2,b) \) y eso no se cumple. Me suena que debe tener que poder usarse alguna propiedad de una función impar (pues \( m(p) \) es impar respecto al eje \( p=b/2 \)) o algo similar.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola

En realidad yo expreso (creo que es lo mismo).

\( t(p)=(-ln(b-p))^a+(1-a)ln(-ln(b-p))+ln(b-p)-(-ln(p))^a-(1-a)ln(-ln(p))-ln(p) \)


Y quiero probar que solamente tiene dos raíces para \( p\in[0,b/2] \), una de las cuales es la trivial que es \( p=b/2 \). Ahora, una forma de probar que hay solamente otra raíz, es probando que \( t(p) \) es convexa.

Entonces me queda

\( t''(p)=m(b-p)-m(p) \) siendo

\( m(p)=\frac{(log(p) (-a (-log(p))^a + a - 1) + (a - 1) (a (-log(p))^a + 1) - log^2(p))}{(p^2 log^2(p))} \)

Y como \( t''(0)>0 \) y \( t''(b/2)=0 \) probando que \( -m'(b-p)-m'(p)<0 \) pruebo que \( t(p) \) es convexa. Que es equivalente a probar que \( m'(p)>0 \) para todo \( p\in[0,b]. \)

Ahora, \( m'(p)=\frac{(a - 1) (a^2 (-log(p))^a - 2 a (-log(p))^a - 2) + 2 log^2(p) (a ((-log(p))^a - 1) + 1) - 3 (a - 1) log(p) (a (-log(p))^a + 1) + 2 log^3(p)}{p^3 log^3(p)} \)

Y esto, creo que es positivo, para \( a=0.5 \) me queda como el adjunto. Me estoy dando cuenta que tengo mal este razonamiento, pues tengo que probar además que \( m'(p)>0 \) para \( p\in(b/2,1) \) y eso no se cumple. Me suena que debe tener que poder usarse alguna propiedad de una función impar (pues \( m(p) \) es impar respecto al eje \( p=b/2 \)) o algo similar.

Ah, tu estabas representando todavía dos derivadas más, es decir, con mi notación no \( f'(p) \) sino \( f'''(p) \), ya que \( m(p)=-f''(p). \)

Y como dices tu argumento de momento no es concluyente; además incluso cuando dices que \( m'(p) \) es positiva, ¿lo has comprobado analíticamente o e un gráfico?. Por que en todo este problema gráficamente todo cumple lo que debe; la cosa es probarlo.

Saludos.

[Quema]

No, solamente por un gráfico, por eso incluyo la palabra "creo". Alguna propiedad de funciones impares no se podrá usar?

A lo bruto, debo probar que

\( [log(b-p) (-a (-log(b-p))^a + a - 1) + (a - 1) (a (-log(b-p))^a + 1)
- log^2(b-p)](p)^2(ln(p))^2-[log(p) (-a (-log(p))^a + a - 1) + (a - 1) (a (-log(p))^a + 1) - log^2(p)](b-p)^2(ln(b-p))^2 \) es positivo.

He intentado reexpresar agrupando términos para que me quedara positivo, no se si este camino es viable.

[Luis Fuentes]

Hola

No, solamente por un gráfico, por eso incluyo la palabra "creo". Alguna propiedad de funciones impares no se podrá usar?

No se.

A lo bruto, debo probar que

\( [log(b-p) (-a (-log(b-p))^a + a - 1) + (a - 1) (a (-log(b-p))^a + 1)
- log^2(b-p)](p)^2(ln(p))^2-[log(p) (-a (-log(p))^a + a - 1) + (a - 1) (a (-log(p))^a + 1) - log^2(p)](b-p)^2(ln(b-p))^2 \) es positivo.

He intentado reexpresar agrupando términos para que me quedara positivo, no se si este camino es viable.

No sé que quieres decir con si es viable; es una posibilidad, pero digamos que la viabilidad queda determinada por el éxito. Si eres capaz de reagrupar de forma que todos los sumandos sepamos que son positivos, perfectos.

Saludos.

[Quema]

Hice la cuenta larga de \( t''(p) \) y me da la siguiente, si copié bien del Mathematica,

\( my^2(x^2+x-1+a-ax-a(a+x-1)x^a)-cx^2(y^2+y-1+a-ay-a(a+y-1)y^a) \) siendo \( m=(b-p)^2,c=p^2,x=-lnp,y=-ln(b-p) \)

En las simulaciones que hice me da que \( (m-c)x^2y^2=b(b-2p)x^2y^2 \) es mayor que el resto de la suma de los demás sumandos, cuya suma da negativa, haciendo la derivada segunda positiva.

[Quema]

No se puede estudiar los mínimos de la función

\( F(x,y)=e^{-y/2}y^2(x^2+x-1+a-ax-a(a+x-1)x^a)-e^{-x/2}x^2(y^2+y-1+a-ay-a(a+y-1)y^a) \) sujeto a \( e^{-x}+e^{-y}=b \), haciendo un lagrangiano y ver si es una función positiva?

[Luis Fuentes]

Hola

No se puede estudiar los mínimos de la función

\( F(x,y)=e^{-y/2}y^2(x^2+x-1+a-ax-a(a+x-1)x^a)-e^{-x/2}x^2(y^2+y-1+a-ay-a(a+y-1)y^a) \) sujeto a \( e^{-x}+e^{-y}=b \), haciendo un lagrangiano y ver si es una función positiva?

Positiva supongo con la restricción añadida de \( x\geq y \) que equivale a \( p\leq b/2 \).

Poder se puede plantear; ahora cuando nos pongamos a calcular los puntos críticos previsiblemente saldrá una ecuación que no se puede resolver de manera explícita porque aparecerán \( x \) e \( y \) mezcladas en exponentes y en polinomios.

Entonces lo que no tengo claro es que arreglemos algo.

Saludos.