Autor Tema: Gráfica de $$f(x)=\sin^3x+\cos^3x$$

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02 Febrero, 2021, 06:39 pm
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Fernando Revilla

  • Es más fácil engañar a alguien que convencerle de que ha sido engañado.
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Para Ernesto.

Gráfica de \( f(x)=\sin^3x+\cos^3x \)

Lo iré resolviendo (según apetencia :)). No tiene mayor dificultad, no obstante si alguién se va animando, estupendo. Es para un amigo que me la ha pedido. 

02 Febrero, 2021, 08:28 pm
Respuesta #1

Fernando Revilla

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La función no tiene simetrías respecto de los ejes. Es periódica de periodo \( 2\pi  \), por tanto bastará analizar su comportamiento en el intervalo \( [0,2\pi]. \) Su derivada es

        \( f^\prime (x)=\ldots=3\sin x\cos x(\sin x-\cos x) \)

La derivada se anula en los casos

        \( \sin x=0\Leftrightarrow x=0 \vee x=\pi\vee x=2\pi, \)
        \( \cos x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2} \vee x=\dfrac{3\pi}{2}, \)
        \( \sin x=\cos x\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4} \vee x=\dfrac{5\pi}{4}. \)

Analizamos crecimiento y decrecimiento:

        \( x\in (0,\pi/4)\Rightarrow f^\prime (x)=+\cdot +\cdot +\cdot -=- \) (dec.),
        \( x\in (\pi/4,\pi/2)\Rightarrow f^\prime (x)=+\cdot +\cdot +\cdot +=+ \) (crec.),
        \( \ldots \)
        \( x\in (3\pi/2,2\pi)\Rightarrow f^\prime (x)=+\cdot -\cdot +\cdot -=+ \) (crec.).

El análisis anterior permite establecer los extremos:

        En \( (0,1) \) (máximo global),
        En \( (\pi/4,1/\sqrt{2}) \) (mìnimo local),
        En \( (\pi/2,1) \) (máximo global),
        En \( (\pi,-1) \) (mínimo global),
        En \( (\pi,-1) \) (mínimo global),
        En \( (5\pi/4,-1/\sqrt{2}) \) (máximo local),
        En \( (3\pi/2,-1) \) (mínimo global),
        En \( (2\pi, 1) \) (máximo global).

Interpretación gráfica.

02 Febrero, 2021, 08:34 pm
Respuesta #2

Fernando Revilla

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02 Febrero, 2021, 09:48 pm
Respuesta #3

ingmarov

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Hola maestro Revilla

Dejo un adelanto de la segunda derivada.

¿Algún trabajador nato quiere hallar los puntos de inflexión? :)

Tenemos

\[ y'=3senx\,cosx(senx-cosx)=\dfrac{3}{2}sen(2x)(senx-cosx)=\dfrac{3{\color{blue}\sqrt{2}}}{2}sen(2x)\left(\dfrac{senx}{\color{blue}\sqrt{2}}-\dfrac{cosx}{\color{blue}\sqrt{2}}\right)=\dfrac{3{\color{blue}\sqrt{2}}}{2}sen(2x)\left(sen(\frac{\pi}{4})senx-cos(\frac{\pi}{4})cosx\right)=\bf-\dfrac{3{\sqrt{2}}}{2}sen(2x)cos(x+\frac{\pi}{4}) \]

Derivamos

\[ y''=-\dfrac{3{\sqrt{2}}}{2}\left(2cos(2x)cos(x+\frac{\pi}{4})-sen(2x)sen(x+\frac{\pi}{4})\right)=-\dfrac{3{\sqrt{2}}}{2}\left(cos(2x)cos(x+\frac{\pi}{4})+cos(2x)cos(x+\frac{\pi}{4})-sen(2x)sen(x+\frac{\pi}{4})\right)=\\ \bf=-\dfrac{3{\sqrt{2}}}{2}\left(cos(2x)cos(x+\frac{\pi}{4})+cos(3x+\frac{\pi}{2}))\right) \]


Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

03 Febrero, 2021, 07:05 am
Respuesta #4

Fernando Revilla

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¡Gracias ingmarov por tu trabajo! Viendo la derivada segunda, creo que el cálculo de sus raíces se sale del contexto del nivel en que esta puesto el problema (bachillerato). Naturalmente y por razones de derivabilidad, no puede haber "picos" en la gráfica lo cual garantizaría la existencia de un punto de inflexión entre cada par de extremos consecutivos. Sería de rigor, demostrar que sólo hay uno, pero posiblemente la filosofía del problema este ámbito sea hacer un "razonable esbozo" de la gráfica con simplemente los extremos.

Si me entero de las intenciones ocultas (:)) del profesor que puso tal ejercicio, lo comento.

03 Febrero, 2021, 01:56 pm
Respuesta #5

Abdulai

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Haciendo un desplazamiento de coordenadas los cálculos se vuelven mas amigables, aunque tampoco son para un bachillerato.

Haciendo \( x=t+\frac{\pi}{4} \)

\( f(t) = \sin^3(t+\frac{\pi}{4})+\cos^3(t+\frac{\pi}{4}) =  \dfrac{\sqrt 2}{4} \left( 3\cos t - \cos(3t) \right) = \sqrt 2\left(\frac{3}{2}\cos t -\cos^3t\right) \)

Donde la expresión en función del triple del ángulo es cómoda para graficar "a ojo" y la otra para calcular los ceros.

A su vez derivando para max/min y puntos de inflexión
\( f'(t) = 3\sqrt2\left(\frac{1}{2}\sin t - \sin^3t\right) \)
\( f''(t) = 3\sqrt2\left(3\cos^3t - \frac{5}{2}\cos t\right) \)

Claro que he hecho trampa porque todos los pesados pasos algebraicos los hice con software   ;D


03 Febrero, 2021, 05:27 pm
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

 Directamente:

\(  f(x)=sin^3(x)+cos^3(x) \)
\( f'(x)=3sin^2(x)cos(x)-3cos^2(x)sin(x) \)
\( f''(x)=6sin(x)cos^2(x)-3sin^3(x)+6cos(x)sin^2(x)-3cos^3(x) \)

 Para resolver \( f''(x)=0 \) dividiendo por \( cos^3(x) \) y haciendo \( t=tan(x) \) queda:

\(  3(2t-t^3+2t^2-1)=0 \)

  Es decir se trata re resolver: \( t^3-2t^2-2t+1=0 \). Pero:

\( t^3-2t^2-2t+1=(t^3+1)-2t(t+1)=(t+1)(t^2-t+1)-2t(t+1)=(t+1)(t^2-3t+1) \)

 Las raíces son \( t_1=\color{red}-1\color{black} \) y las que se obtienen de resolver \( t^2-3t+1=0 \):

\( t_2=\dfrac{3+ \sqrt{5}}{2},\qquad t_3=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2} \)

 Sólo queda deshacer el cambio tomando \( x=arctan(t) \).

Saludos.

CORREGIDO.

03 Febrero, 2021, 05:59 pm
Respuesta #7

Fernando Revilla

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Muchas gracias Abdulai y Luis. De hecho miré las raíces de \( f^{\prime\prime}(x)=0 \) y aparecen formas cerradas. Ciertamente no es difícil para matemáticos profesionales, pero excede en dificultad y tiempo para un segundo de bachillerato.