¿Sabes terminar ahora?.

Sii, muchas gracias

 (vaya cazurro soy, no haber relacionado este problema con la sucesión de fibonacci...)

Saludos.

Hola buenas tardes, se plantea el siguiente problema:


              La tetraciclina es un antibiótico que usa para tratar una gama muy variada de dolencias, desde el acné hasta infecciones agudas.
              Se administra oralmente y desde el tracto gastrointestinal pasa a la sangre, de donde es eliminado por los riñones y excretado por la
        orina.

             Las constantes de proporcionalidad asociadas con las ratios a las que la tetraciclina (medida en mg/cm3) pasa al torrente sanguíneo
     y es eliminada son, respectivamente, 0.72 y 0.15 mg/(hora/cm3 ). Supongamos que, inicialmente, la cantidad de tetraciclina en el intestino
     es  de 0.0001 mg/cm3, y no la hay ni en el torrente sanguíneo ni en el tracto urinario. (La idea es ver como varían en un sistema de 3 ecuaciones)

     Entonces si no he entendido mal se refiere a este sistema del tipo \( X'=AX \),   \(  X=\left[\begin{array}{ccc}{I(t)}\\{S(t)}\\{T(t)}\end{array}\right] \)  y  \( A \) es una matriz:

                    \( I(t) \), \( S(t) \), \( T(t) \) son las variables dependientes que indican la cantidad de tetraciclina (en mg/cm3) existentes en respectivamente,
       el intestino, la sangre, y el riñón/tracto urinario.

\( \begin{bmatrix} I'=-0.72\cdot I \\ S'=0.72\cdot I - 0.15\cdot S  \\  T'=0.15\cdot S \end{bmatrix} \)   donde las condiciones iniciales para  t=0, son \( X(0)= \left[\begin{array}{ccc}{0.0001}\\{0}\\{0}\end{array}\right] \) (sólo se hace una sola toma de este medicamento)

¿Es acertado el sistema que he puesto? ¿Cómo lo veis vosotros?

Muchas gracias de antemano

Saludos

Hola buenas, en la pág 92 que adjunto tengo una duda acerca de:

"Además, la serie converge uniformemente en \( C(a,r)^* \), ya que la serie geométrica converge uniformemente en cada compacto contenido en \( D(0,1) \)".

    Mi duda es la siguiente; el hecho de que converge uniformemente en cada compacto contenido en \( D(0,1) \) se debe al Teorema de Weirestrass sobre la convergencia uniforme y absoluta, pero al hacer el test \( \displaystyle\sum_{n=0}{z^n} \) tiene sentido para \( |z|<1 \), luego ¿cómo se deduce la convergencia uniforme en \( C(a,r)^* \) si en la frontera del disco no tenemos ningún criterio acerca de su convergencia?

Saludos

Hola Luis!, gracias por responder, intuitivamente (haciendo un dibujo) se ve que son semejantes, y si lo dibujas con precisión se tiene que sería razonable pensar que son una homotecia de razón \( 1/2 \) del original. Pero si trabajamos con la definición dada \( \Delta \), y \( \Delta_1 \) , ¿Cómo se deduce que son una homotecia de razón \( 1/2 \) (el uno respecto del otro)? (en plan formal)

Por otro lado si \( \omega \) y \( \omega_r \) son triángulos homotéticos de razón  \( r \), ¿se cumple que perimetro(\( \omega \))\( =r\cdot \) perimetro(\( \omega_r \))?

Saludos.

Pues muchísimas gracias a ambos:

Considerando la fórmula del argumento principal dada por:

\( arg(z)=2\cdot arctan\left(\displaystyle\frac{Imz}{|z| + Rez} \right) \), y si \( z\in \mathbb{R^-} \) , \( arg(z)=\pi \)

finalmente se ve la siguiente cadena de desigualdades;

\( arg(1+e^{i\alpha})=2\cdot arctan\left(\displaystyle\frac{sen(\alpha)}{2cos(\alpha /2) + (1+cos(\alpha))} \right) = 2\cdot arctan\left(\displaystyle\frac{2cos(\alpha /2)sen(\alpha /2)}{2cos(\alpha /2) \underbrace{(1+cos(\alpha /2)}_{2cos(\alpha /4)})} \right) =...= 2\cdot \displaystyle\frac{\alpha}{4} = \displaystyle\frac{1}{2}  \)

Duda resuelta.

Saludos

Buenos días, tengo una pequeña duda acerca de como obtener finalmente la igualdad que veréis a continuación.

Asumiendo que se ha demostrado la igualdad \( log(1+z) = \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{(-1)^n+1}{n}z^n} \)  (donde \( log \) denota el logaritmo principal)  \( \forall z \in D((0,0),1) \) , se plantea el problema de intentar saber si converge o no en la frontera (menos donde el logaritmo toma la evaluación nula, que en este caso sería \( (-1,0) \)). Para ello planteamos el siguiente problema, estudiar la convergencia de la serie \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{(-1)^{n+1}}{n}(cos(\alpha)+sen(\alpha))^n} \) , \( \alpha \in (-\pi, \pi) \) ( evitamos tomar el \( (-1,0) \) )

La convergencia se puede ver como una aplicación del criterio de abel:
Sea \( \{a_n\} \) una sucesión numérica y \( \displaystyle\sum_{n=1}^{}f_n \) una serie de funciones definidas en un conjunto A.
    Criterio de Abel:
             i) La serie \( \displaystyle\sum_{n=1}^{}a_n \) convergente.
             ii) Para cada \( z\in A\  \{f_n(z)\} \) es una sucesión de números reales monótona y la sucesión \( \{f_n\} \) esta uniformente acotada en A.

               Entonces la serie de funciones \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{a_n f_n} \) converge uniformemente en A

Por tanto como sabemos que converge, podemos aplicar el criterio de la continuidad radial, para obtener el valor de la suma de forma que:

\( \displaystyle\lim_{\underbrace{r \to{}1^-}_{0<r<1}}{log(1+r(cos(\alpha)+isen(\alpha)))} =\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{(-1)^{n+1}}{n} e^{i n\alpha}} = log(1+\displaystyle\lim_{r \to{}1}{r}(e^{i\alpha}))= log(1+e^{i \alpha}) =  log(2cos(\displaystyle\frac{\alpha}{2})) + i\displaystyle\frac{\alpha}{2} \).

Lo único que me queda ver es que \( arctan(\displaystyle\frac{sen(\alpha)}{1+cos(\alpha)}) = \displaystyle\frac{\alpha}{2} \) pero no recuerdo muchas de las relaciones de la trigonometría (solo la del coseno y seno del ángulo doble y poco más)


Gracias de antemano,

Saludos

Cita de: latex en 19 Octubre, 2019, 11:52 pm

Sí, pero no se me ocurre dar una fórmula compacta, de la forma \( a:=a(x,y) \) \( b:=b(x,y) \), de forma que sea siempre la raíz principal, dependerá en que cuadrante este \( -y + ix \) ¿no?

Perdona que insista latex, pero no me dices a que llamas raíz cuadrada priincipal de un número complejo. En mi blog (http://fernandorevilla.es/blog/2015/02/07/raiz-cuadrada-de-un-numero-complejo/) verás que se demuestra una fórmula genérica para tales raíces. En concreto,

          \( \displaystyle\sqrt{x+yi}=\pm \left(\sqrt{\frac{x+ \sqrt{x^2+y^2}}{2}}+\sqrt{\frac{-x+ \sqrt{x^2+y^2}}{2}}i\right)\text{ si }y>0, \)
         \( \displaystyle\sqrt{x+yi}=\pm \left(\sqrt{\frac{x+ \sqrt{x^2+y^2}}{2}}-\sqrt{\frac{-x+ \sqrt{x^2+y^2}}{2}}i\right)\text{ si }y<0. \) 

¿A cuál de ellas le llamas raíz principal?

Según lo leído en teoría es la siguiente \( \sqrt[ ]{z}=|z|^{1/2}_{arg(z)/2} \) (expresando el número complejo en forma polar) , a lo que me surgía la siguiente duda. Cuando quieres calcular \( a,b\in \mathbb{R} \), siguiente el procedimiento que indicas resulta que la raíz principal varía según se tome \( z\in \mathbb{C} \), por tanto debiéramos tener estas consideraciones para el cálculo de \( Im(iz) \), teniendo en cuenta en que región se sitúe \( z\in\mathbb{C} \), ¿no?

Saludos

Cita de: SebasMM en 08 Septiembre, 2019, 10:19 pm

.. determinar la región \( R=\left\{{z\in{\mathbb{C}}:Re(z-i)+Im(\sqrt[ ]{i\cdot{z}})>0}\right\} \), ...

Expresa \( z=x+iy \) con \( x,y\in \mathbb{R} \). Entonces \( \text{Re }(z-i)=x. \) Por otra parte, \( \sqrt{iz}=\sqrt{-y+ix}=a +ib \) con \( a,b\in \mathbb{R} \). Hay que determinar \( b=\text{Im }\sqrt{-y+ix} \). Para ello, desarrollando \( (a+ib)^2=-y+ix \) e igualando partes real e imaginaria obtendrás una ecuación bicuadrada en \( b \) que te permitirá expresar \( b \) en función de \( x \) e \( y \).

Hola Fernando, en \( \sqrt{iz}=\sqrt{-y+ix}=a +ib \), ¿Cómo eliges \( \mathbb{a,b \in} \mathbb{R} \) de modo que siempre resulte de esa expresión la raíz cuadrada principal?

Hola buenas noches, tengo la siguiente duda:

Si \( p,p' \in \mathbb{K}(x,y) \) son tales que \( C_p \), y \( C_p' \) las cónicas asociadas son equivalentes afínmente, es decir se tiene una aplicación afín f, tal que \( p(x,y) = \lambda p'(f(x,y)) \) para algún \( \lambda \in \mathbb{K} \), entonces si tomamos las ampliaciones proyectivas de \( p \),\( p' \) respectivamente como \( p^*(x,y,z)=z^2p(\displaystyle\frac{x}{z},\displaystyle\frac{x}{z}) \), se debe verificar que \( p^* \) y \( p'^* \) son proyectivamente equivalentes,
esto es que para algún otro \( \lambda \in \mathbb{K} \) \( p^*(x,y,z)=z^2\lambda p(\displaystyle\frac{x}{z},\displaystyle\frac{y}{z}) = z^2 \lambda p'(f(\displaystyle\frac{x}{z},\displaystyle\frac{y}{z})) \underbrace{=}_{?} \lambda p'^*(\widetilde{f}(x,y,z)) \), mi pregunta es en este caso como se define \( \widetilde{f} \).

Saludos

Hola buenas, tengo una duda acerca de esta afirmación:
El dual de un plano proyectivo papiano y desarguesiano es un plano proyectivo papiano y desarguesiano. Aquí considerando \( \mathbb{P}=(P,l,\in{}) \) en tales condiciones, bastaría con probar que el plano dual se satisface el teorema de desargues, y el teorema de pappus.
Usando el principio de la dualidad en el plano proyectivo que dice, que una afimación es verdadera si y sólo si lo es su dual,
¿podríamos afirmar que es verdadera?

Saludos.