Rincón Matemático
Matemática => Análisis Matemático => Cálculo 1 variable => Mensaje iniciado por: carambola en 27 Abril, 2021, 11:05 am
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Sea $$f:[0,+\infty) \to (0, + \infty)$$ continua. Probad que la siguiente función es creciente en $$[0, + \infty)$$
$$ g(x) =\begin{cases}{\frac{\displaystyle\int_{0}^{x}tf(t)dt}{\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)dt}}&\text{si}& x \neq 0\\0 & \text{si}& x = 0\end{cases}$$
Graciass
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Hola
Sea $$f:[0,+\infty) \to (0, + \infty)$$ continua. Probad que la siguiente función es creciente en $$[0, + \infty)$$
$$ g(x) =\begin{cases}{\frac{\displaystyle\int_{0}^{x}tf(t)dt}{\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)dt}}&\text{si}& x \neq 0\\0 & \text{si}& x = 0\end{cases}$$
Comprueba que \( g'(x)>0 \) para \( x>0 \). Para ello haz las cuentas y comprueba que equivale a verificar que:
\( x\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)dt>\color{red}\cancel{x}\color{black}\displaystyle\int_{0}^{x}tf(t)dt \)
Equivalentemente:
\( \displaystyle\int_{0}^{x}(x-t)f(t)dt>0 \)
Concluye...
Saludos.
CORREGIDO
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He hecho la derivada pero no se como llegas a la primera igualdad que me ex¡scribes. He llegado a que
$$ g'(x) \geq{0} \Longleftrightarrow{} xf(x) \displaystyle\int_{0}^{x}(f(t)dt) - f(x)\displaystyle\int_{0}^{x}(tf(t)dt) + f(0)\displaystyle\int_{0}^{x}(tf(t)dt)$$
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Hola
Tenía una errata que he corregido.
He hecho la derivada pero no se como llegas a la primera igualdad que me ex¡scribes. He llegado a que
$$ g'(x) \geq{0} \Longleftrightarrow{} xf(x) \displaystyle\int_{0}^{x}(f(t)dt) - f(x)\displaystyle\int_{0}^{x}(tf(t)dt)\color{red} + f(0)\displaystyle\int_{0}^{x}(tf(t)dt)\color{black}$$
No entiendo de donde sacas el término que he marcado en rojo.
Saludos.
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Equivalentemente:
\( \displaystyle\int_{0}^{x}(x-t)f(t)dt>0 \)
Concluye...
Saludos.
CORREGIDO
Tenías razón ese término con f(0) sobraba. Ahora como concluímos
el final?
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Hola
Tenías razón ese término con f(0) sobraba. Ahora como concluímos
el final?
¿Qué has intentado?¿Exactamente qué es lo que no logras concluir?.
Saludos.
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Hola
Tenías razón ese término con f(0) sobraba. Ahora como concluímos
el final?
¿Qué has intentado?¿Exactamente qué es lo que no logras concluir?.
Saludos.
Que $$\displaystyle\int_{0}^{x}(x-t) f(t)dt > 0$$
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Hola
Que $$\displaystyle\int_{0}^{x}(x-t) f(t)dt > 0$$
Simplemente eso es la integral de una función estrictamente positiva en \( (0,x) \) y continua.
Saludos.