Rincón Matemático
Matemática => Análisis Matemático => Mensaje iniciado por: cristianoceli en 10 Abril, 2021, 10:20 pm
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Hola tengo dudas con este ejercicio:
En \( \mathbb{R} \)con la métrica usual, defina la sucesión \( \{ x_n \}_{n \in \mathbb{N}} \) para
$$x_n = \displaystyle\int_{1}^{n} \displaystyle\frac{\cos t}{t^2} dt.$$
Pruebe que \( \{ x_n \}_{n \in \mathbb{N}} \) es una sucesión de Cauchy
Lo que he hecho:
Consideremos \( |x_n-x_m| \) sin perder generalidad con \( m>n \). Tenemos que:
\( \left|x_n-x_m\right|=\displaystyle \left|\int_0^n\frac{\cos(t)}{t^2}\,dt-\int_0^m\frac{\cos(t)}{t^2}\,dt\right|=\left|\int_n^m\frac{\cos(t)}{t^2}\,dt\right|. \)
Ahora podemos usar que: \( |\int|\leq\int|\cdots| \).
¿Como puedo llegar a esto \( \left| \displaystyle \int_n^m\frac{\cos(t)}{t^2}\,dt\right|\leq \displaystyle \int_n^m\frac{|\cos(t)|}{t^2}\,dt\leq\int_n^m\frac{dt}{t^2}. \)
y probar que la suceción es de Cauchy.
Saludos
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Te queda:
\( \displaystyle |\int_n^m \dfrac{\cos(t)}{t^2} \ dt | \leq \int_n^m \dfrac{|\cos(t)|}{t^2} \ dt \leq \int_n^m \dfrac{1}{t^2} \ dt = \dfrac{1}{n} -\dfrac{1}{m} < \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n} = \dfrac{2}{n} \)
Dado \( \epsilon > 0 \) existe \( n_0 \in \mathbb{N} \) tal que \( \dfrac{1}{n_0} < \dfrac{\epsilon}{2} \) y continuar.
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Te queda:
\( \displaystyle |\int_n^m \dfrac{\cos(t)}{t^2} \ dt | \leq \int_n^m \dfrac{|\cos(t)|}{t^2} \ dt \leq \int_n^m \dfrac{1}{t^2} \ dt = \dfrac{1}{n} -\dfrac{1}{m} < \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n} = \dfrac{2}{n} \)
Dado \( \epsilon > 0 \) existe \( n_0 \in \mathbb{N} \) tal que \( \dfrac{1}{n_0} < \dfrac{\epsilon}{2} \) y continuar.
Vale entiendo, muchas gracias.
Saludos