[Carlos Ivorra]

En mi opinión decir que una función compleja multivaluada es una función (univaluada) \( f:\Bbb C \to P(\Bbb C) \), aunque formalmente no tenga ningún problema, es un tanto peliagudo, porque es un enfoque muy poco operativo a la hora de hacer análisis que es lo que interesa.

Sin que sirva de precedente, ahí discrepamos. Me parece un enfoque muy adecuado definir una función multivaluada como una función \( F:U\subset \mathbb C\longrightarrow \mathcal P\mathbb C \) (por ejemplo la función que a cada \( z \) no nulo le asigna sus logaritmos complejos) para, apoyándose en ella, definir qué se entiende por rama uniforme de una función multiforme, o cuándo una función multiforme es holomorfa o meromorfa en un abierto (en el sentido de que admita ramas uniformes en dicho abierto, con condiciones para que no sobren valores que nunca aparecen en dichas ramas), etc.

A la hora de definir ramas uniformes, es útil tener un concepto de función multiforme de la cual dichas ramas sean ramas uniformes. Por supuesto, sin perjuicio de que al final sea mejor acabar en superficies de Riemann.

Por otro lado, aunque estoy de acuerdo con el ejemplo del "coche de juguete", también es cierto que el uso de "función multivaluada" choca un tanto porque en matemáticas hay una tendencia muy marcada a considerar que objetos del tipo "nombre + adjetivo" son un caso particular de objetos de tipo "nombre".

Sí, no digo que no resulte desconcertante. Sólo digo que, si uno lo piensa fríamente, responde a un esquema de pensamiento habitual, aunque no sea habitual encontrarlo en matemáticas. Otro ejemplo típico que sin duda te será familiar es que una función parcial no es un caso particular de función, sino al revés. O también, un entero algebraico no es un entero "ordinario" (aunque al final los algebristas acaben llamando enteros a los enteros algebraicos).

Muchas gracias por la explicación geómetracat.

De nada. 

[Pie]

Gracias a ti también Carlos (perdón, no sabía si me contestabas a mi o en general XD, pero me quedó algo más claro el concepto )

Saludos.

[geómetracat]

Sin que sirva de precedente, ahí discrepamos. Me parece un enfoque muy adecuado definir una función multivaluada como una función \( F:U\subset \mathbb C\longrightarrow \mathcal P\mathbb C \) (por ejemplo la función que a cada \( z \) no nulo le asigna sus logaritmos complejos) para, apoyándose en ella, definir qué se entiende por rama uniforme de una función multiforme, o cuándo una función multiforme es holomorfa o meromorfa en un abierto (en el sentido de que admita ramas uniformes en dicho abierto, con condiciones para que no sobren valores que nunca aparecen en dichas ramas), etc.

Discrepamos mucho menos de lo que pensaba inicialmente. Cuando dije que era poco operativo estaba pensando en que sería difícil hacer análisis complejo directamente con funciones multivaluadas, tomándolas como objeto fundamental, sin pasar por las funciones usuales. Pero como mecanismo auxiliar en el que apoyarse para definir ramas uniformes y demás está bien. He echado un vistazo rápido a tu libro de variable compleja, y el desarrollo de funciones multiformes me parece muy razonable.

[ancape]

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1) En el plano complejo, las funciones no necesariamente deben cumplir unicidad, por ejemplo las raíces \( n \)-ésimas o los logaritmos son funciones multivaluadas.
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Cuando se trató de axiomatizar el álgebra y surgió la teoría de conjuntos, se dieron muchas definiciones y entre ellas la de función como toda aplicación con determinadas condiciones y en consecuencia era una condición importante que fuese univaluada.
La palabra función se adoptó sin caer en la cuenta de que esta era una palabra ya usada, incluso en matemáticas, desde hacía varios siglos. A pesar de esto se mantuvo la definición. Para complicar más las cosas, resultaba que la palabra 'función' se empleaba en la vida corriente.

Esto concuerda con lo que he sostenido en otro hilo de este foro, un razonamiento matemático, jamás debe apoyarse exclusivamente en lo que vulgarmente se entiende por el concepto que tratamos. Efectivamente, muchas veces recurrimos a tal artilugio, pero todo matemático que se precie, sabe perfectamente de lo que está hablando y no tiene inconveniente en explicarlo cuando es interpelado por ello.

Si le dices a alguien: ' tira de la cadena del váter', irá y pulsará el fluxómetro que libera agua para la limpieza del inodoro. Si pensamos en esta frase, salvo inodoros muy antiguos, los inodoros que encontramos no tienen ninguna cadena de la que tirar.

El término 'función' es algo parecido, le pasa como a muchos otros que en la definición se utilizó una palabra que significaba otra cosa. Pero esto no debe preocuparnos si tenemos claro a qué nos estamos refiriendo cuando hablamos del tema.
 

[manooooh]

Hola

La idea del hilo era discutir el motivo de por qué a veces llamamos a ciertas cosas como tal cuando en realidad no lo son pero me llevo la tranquilidad de poder decir aplicación (en ciertos contextos) sin llevarme puesto toda una teoría.

No tengo nada para replicar porque considero que lo dijeron todo.

Gracias a todos!!

Saludos