[manooooh]

Hola!

A raíz de haber preparado un ejercicio para explicar a un curso --y además luego de leer con creces el hilo Intuición y axiomática en matemáticas donde participan algunos usuarios que me agradan--, tuve la necesidad de preguntar a un profesor y si bien concuerdo con su respuesta, me gustaría que me den su punto de vista.

Les pondré 2 ejemplos pero seguro hay más:

1) En el plano complejo, las funciones no necesariamente deben cumplir unicidad, por ejemplo las raíces \( n \)-ésimas o los logaritmos son funciones multivaluadas.

2) En teoría de autómatas, un autómata es una máquina de estado finito equipada con una función de transición \( \delta \) definida en \( Q\times V \) hacia \( Q \) (donde \( Q \) es el conjunto finito de estados y \( V \) el vocabulario que contiene las letras que formarán palabras). Sin embargo los autómatas finitos no determinísticos (AFND) son autómatas en donde la \( \delta \) no cumple unicidad (tampoco tiene transiciones por la palabra nula).

¿Se dan cuenta de algo?

¡Sí! ¡¡En un principio se definen los objetos como funciones pero luego son "rebajadas" por no cumplir 1 de las 2 condiciones (unicidad)!!

Es decir, lo que yo critico es que llamemos "funciones complejas" o "funciones de transición" (entre muchos otros ejemplos) cuando en realidad, bajo ciertas condiciones extra como lo puede ser el tipo de función compleja o el diseño del autómata, NO son funciones como tal. Pero en tal caso dejarían de ser funciones en el plano complejo y dejarían de ser autómatas finitos, y en todo caso pasarían a llamarse "Relaciones en el plano complejo" y "Relaciones de transición".

Que luego si cumplen con unicidad tendrán todo el derecho a pasar a ser "Funciones", pero presuponer de antemano que TODAS son funciones me parece contradictorio.

El profesor me dijo que justamente se las llama función aunque no lo sea rigurosamente.

¿Ustedes qué opinan? ¿Ven la contradicción lógica, me ayudarían a entender si estoy en lo correcto o por qué mi argumento falla? ¿O simplemente les ponen "función" por una cuestión de retener mejor el objeto de estudio en la memoria?

Gracias!!
Saludos

[geómetracat]

Es un abuso de lenguaje, desde luego. El motivo de llamarlas "funciones", aunque no lo sean, es porque psicológicamente es conveniente pensar en ellas como funciones.

De todas maneras, yo diría que lo de funciones multivaluadas en análisis complejo cada vez se lleva menos, porque es mejor usar funciones de verdad a la hora de elaborar la teoría. Así, o bien se hace un corte en el plano complejo y se toma una rama de la función, o bien (la mejor alternativa) se consideran funciones (de las de verdad) con dominio en una superfície de Riemann. De hecho esta es la mejor manera con diferencia de entender las "funciones multivaluadas": como funciones definidas en superfícies de Riemann.

Sobre el segundo caso, imagino que se llama función porque es una generalización directa del caso determinista, así que interesa pensar en ello como en una "función" donde el valor que toma es aleatorio. Aunque por ejemplo en la entrada de la Wikipedia para máquinas de Turing no deterministas, se le llama "relación de transición". Y por otro lado, puedes convertirlo en una función de verdad definiendo \( \delta:Q \times V \to P(Q) \)
donde la imagen de un par \( (q,v) \) es ahora el conjunto de posibles estados a los que puede transicionar.

[feriva]

Hola, manooooh, buenos días.

Poco o nada entiendo yo de autómatas y demás, pero sí creo entender el fondo del asunto sobre lo que preguntas (si no lo he entendido, pues nada, no me hagas caso).

No, cuando he dicho esto no estaba pensando bien las cosas

Spoiler

Ya que mencionas otro hilo (por cierto, me doy por “agradante”, igualmente ) yo también voy a echar mano de un post que anda en pantalla, el de la desigualdad de Schwarz.

En dicho hilo, resolviendo una ecuación de segundo grado, llegaba a esta fórmula

\( \lambda=\dfrac{-2xy\pm\sqrt{4(xy)^{2}-4|y|^{2}|x|^{2}}}{2|y|^{2}}
  \)

y decía que el discriminante tenía que ser cero o menor que cero.

Como la cuestión iba de afirmar que lambda no podía tener dos soluciones distintas (tenía que ser una raíz doble) uno podría decir que \( 4x^{2}y^{2}
  \) da exactamente el mismo valor que \( 4|x|^{2}|y|^{2}
  \) para reales x,y; por tanto, parece que está de más ese “o menor que” añadido la mencionar lo de la solución única (aunque no implique falsedad, por ser una disyunción, se ve como un pegote antiestético que invita a pensar en algo contradictorio; ¿por qué añadir “o menor que”?).

La razón está en que si planteáramos la igualdad \( 4(xy)^{2}=4|y|^{2}|x|^{2}
  \), al resolver más tarde extrayendo la raíz a ambos lados, nos quedaría una igualdad y no la desigualdad buscada; lo antiestético (y quizá hasta incorrecto, no sé) sería llegar a algo así:

\( 2xy=2|y||x|\Rightarrow xy\leq|x||y|
  \).

Sería añadir un cambio de signo sin necesidad a más de añadir confusión. Así que se pone desde el principio, cuando los términos están elevados al cuadrado.

[cerrar]

Saludos.

[geómetracat]

No sé hasta qué punto está relacionado lo que dices con el hilo, que según creo va más bien de que a veces se llaman "funciones" a cosas que no lo son (no cumplen la definición).

Pero en lo de la desigualdad de Cauchy-Schwarz no estoy muy de acuerdo con lo que dices.
La desigualdad CS es en principio para vectores, de forma que lo que se obtiene es el discriminante \( 4(x \cdot y)^2 - 4||x||^2||y||^2 \), donde \( x \cdot y \) es el producto escalar y \( ||x|| \) es la norma del vector. En general, esto no va a ser cero, y tienes la desigualdad. Aparte de eso, no es inmediatamente evidente la desigualdad, por eso necesitas hacer un argumento como el de ver que \( ||x+\lambda y||^2 \geq 0 \).
Pero en el caso en que son números reales ("vectores con una única componente") el discriminante se reduce a \( 4(xy)^2 -4|x|^2|y|^2=0 \). Pero es que en este caso lo que tienes es \( |xy|=|x||y| \), es decir, la desigualdad CS es en este caso una igualdad (bastante trivial, por otra parte). Así que no hay necesidad de usar desigualdades por ninguna parte, porque ya llegas a una igualdad que es más fuerte.

De hecho, en el caso de vectores, se puede ver que la desigualdad CS es una igualdad si y solo si los vectores son linealmente dependientes (uno es múltiplo del otro). En el caso de una dimensión, cualquier par de vectores es linealmente dependiente, así que se recupera la igualdad.

[feriva]

No sé hasta qué punto está relacionado lo que dices con el hilo, que según creo va más bien de que a veces se llaman "funciones" a cosas que no lo son (no cumplen la definición).

Pero en lo de la desigualdad de Cauchy-Schwarz no estoy muy de acuerdo con lo que dices.
La desigualdad CS es en principio para vectores, de forma que lo que se obtiene es el discriminante \( 4(x \cdot y)^2 - 4||x||^2||y||^2 \), donde \( x \cdot y \) es el producto escalar y \( ||x|| \) es la norma del vector. En general, esto no va a ser cero, y tienes la desigualdad. Aparte de eso, no es inmediatamente evidente la desigualdad, por eso necesitas hacer un argumento como el de ver que \( ||x+\lambda y||^2 \geq 0 \).
Pero en el caso en que son números reales ("vectores con una única componente") el discriminante se reduce a \( 4(xy)^2 -4|x|^2|y|^2=0 \). Pero es que en este caso lo que tienes es \( |xy|=|x||y| \), es decir, la desigualdad CS es en este caso una igualdad (bastante trivial, por otra parte). Así que no hay necesidad de usar desigualdades por ninguna parte, porque ya llegas a una igualdad que es más fuerte.

De hecho, en el caso de vectores, se puede ver que la desigualdad CS es una igualdad si y solo si los vectores son linealmente dependientes (uno es múltiplo del otro). En el caso de una dimensión, cualquier par de vectores es linealmente dependiente, así que se recupera la igualdad.

Tienes razón toda la razón, se me ha ido la cabeza a pensar en escalares porque ya no sé dónde tengo la cabeza tampoco

Gracias, Geómetracat.

[Pie]

Yo como feriva sobre análisis complejo o autómatas entiendo poco o nada. Aunque supongo que es parecido a lo que ocurre con las inversas de funciones no inyectivas, que en teoría no existen pero que pueden obtenerse "por partes" restringiendo el dominio (si no es esto que alguien me corrija XD)

De todos modos a mí el tema también me parece bastante confuso, he estado leyendo sobre funciones multivaluadas y la verdad que me ha parecido todo un poco lioso..

Saludos.

[geómetracat]

Yo como feriva sobre análisis complejo o autómatas entiendo poco o nada. Aunque supongo que es parecido a lo que ocurre con las inversas de funciones no inyectivas, que en teoría no existen pero que pueden obtenerse "por partes" restringiendo el dominio (si no es esto que alguien me corrija XD)

Sí, es muy parecido. De hecho, muchas surgen de manera natural de esa forma.
Un ejemplo paradigmático es la raíz cuadrada. En el caso real, para cada real positivo tienes dos inversas de la función \( x \mapsto x^2 \): \( x \mapsto \sqrt{x} \) y \( x \mapsto -\sqrt{x} \) (donde aquí por \( \sqrt{x} \) represento siempre el valor positivo). Pero la cuestión es que en el caso real hay una elección consistente de la inversa: puedes decir "tomo siempre la raíz positiva" y obtienes una función continua, derivable, etc.

En el caso complejo pasa algo parecido. Cada número complejo tiene dos raíces cuadradas distintas, menos el \( 0 \) que solo tiene una. La diferencia crucial es que ahora no hay una elección consistente de raíz. Dicho de otra forma, no existe una función "univaluada, de las de toda la vida" \( f:\Bbb C \to \Bbb C \) tal que \( f(z) \) ses una raíz de \( z \) para cada \( z \) y que sea continua. Si intentas definir una función continua de esta manera, lo que acaba pasando es que si por ejemplo empiezas en el \( 1 \), con la raíz positiva \( 1 \) y vas trazando un círculo alrededor del cero, de manera que vas tomando la raíz cuadrada de los complejos por los que vas pasando de manera contínua, cuando acabas de dar la vuelta y vuelves al \( 1 \) te ves obligado a tomar la raíz cuadrada negativa \( -1 \). Así surgen las funciones multivaluadas en análisis complejo.

Pero como dije creo que es un punto de vista cada vez más en desuso. La mejor forma de pensar esto es que la raíz cuadrada no es una función \( \Bbb C \to \Bbb C \) multivaluada, sino una función usual \( f:\Sigma \to \Bbb C \), donde \( \Sigma \) es una superfície de Riemann (en este caso en concreto, son como dos copias de \( \Bbb C \) pegadas de manera que cuando das una vuelta alrededor del origen cambias de hoja, y cuando das dos vueltas es cuando realmente vuelves al punto de partida).

El otro caso, el de los autómatas, es bastante más trivial que esto y sí que es más cuestión de nomenclatura que otra cosa.

De todos modos a mí el tema también me parece bastante confuso, he estado leyendo sobre funciones multivaluadas y la verdad que me ha parecido todo un poco lioso...

Es un tanto lioso, sí. Pero ya digo, hay maneras mejores de hacer las cosas.

[Carlos Ivorra]

Alguien dijo que "A set-theorist is a mathematician for which all functions are unary", algo así como que "un especialista en teoría de conjuntos es un matemático para el que todas las funciones tienen un único argumento". Lo mismo vale para las imágenes:

Desde un punto de vista conjuntista, una función multivaluada es una función como cualquier otra, que cumple todas las propiedades que exige la definición. Por ejemplo, la función \( \sqrt[4]z \) en \( \mathbb C \) asigna a cada número complejo una única imagen, a saber, el conjunto de sus raíces cuartas. Por ejemplo:

\( \sqrt[4]{1}=\{1, -1, i, -i\} \).

Es una función \( \sqrt[4]{\ \ }:\mathbb C\longrightarrow \mathcal P\mathbb C \).

De todos modos, si no queremos adoptar la visión oficial conjuntista, no hay nada de particular en que un término pase a significar algo distinto (no algo particular) cuando se le añade un adjetivo, como sucede al pasar de "función" a "función multivaluada". Es lo mismo que pasa si a la palabra "coche" le añadimos el determinante "de juguete". Un coche de juguete no es un coche. Puede ser un mero trozo de madera pintado, y eso no es un coche aunque tenga forma de coche. Pero todo el mundo entiende la situación y nadie se rasga las vestiduras por esa forma de decirlo.

[geómetracat]

En mi opinión decir que una función compleja multivaluada es una función (univaluada) \( f:\Bbb C \to P(\Bbb C) \), aunque formalmente no tenga ningún problema, es un tanto peliagudo, porque es un enfoque muy poco operativo a la hora de hacer análisis que es lo que interesa.

Por otro lado, aunque estoy de acuerdo con el ejemplo del "coche de juguete", también es cierto que el uso de "función multivaluada" choca un tanto porque en matemáticas hay una tendencia muy marcada a considerar que objetos del tipo "nombre + adjetivo" son un caso particular de objetos de tipo "nombre".

[Pie]

Sí, es muy parecido. De hecho, muchas surgen de manera natural de esa forma.
Un ejemplo paradigmático es la raíz cuadrada. En el caso real, para cada real positivo tienes dos inversas de la función \( x \mapsto x^2 \): \( x \mapsto \sqrt{x} \) y \( x \mapsto -\sqrt{x} \) (donde aquí por \( \sqrt{x} \) represento siempre el valor positivo). Pero la cuestión es que en el caso real hay una elección consistente de la inversa: puedes decir "tomo siempre la raíz positiva" y obtienes una función continua, derivable, etc.

En el caso complejo pasa algo parecido. Cada número complejo tiene dos raíces cuadradas distintas, menos el \( 0 \) que solo tiene una. La diferencia crucial es que ahora no hay una elección consistente de raíz. Dicho de otra forma, no existe una función "univaluada, de las de toda la vida" \( f:\Bbb C \to \Bbb C \) tal que \( f(z) \) ses una raíz de \( z \) para cada \( z \) y que sea continua. Si intentas definir una función continua de esta manera, lo que acaba pasando es que si por ejemplo empiezas en el \( 1 \), con la raíz positiva \( 1 \) y vas trazando un círculo alrededor del cero, de manera que vas tomando la raíz cuadrada de los complejos por los que vas pasando de manera contínua, cuando acabas de dar la vuelta y vuelves al \( 1 \) te ves obligado a tomar la raíz cuadrada negativa \( -1 \). Así surgen las funciones multivaluadas en análisis complejo.

Pero como dije creo que es un punto de vista cada vez más en desuso. La mejor forma de pensar esto es que la raíz cuadrada no es una función \( \Bbb C \to \Bbb C \) multivaluada, sino una función usual \( f:\Sigma \to \Bbb C \), donde \( \Sigma \) es una superfície de Riemann (en este caso en concreto, son como dos copias de \( \Bbb C \) pegadas de manera que cuando das una vuelta alrededor del origen cambias de hoja, y cuando das dos vueltas es cuando realmente vuelves al punto de partida).

El otro caso, el de los autómatas, es bastante más trivial que esto y sí que es más cuestión de nomenclatura que otra cosa.

Muchas gracias por la explicación geómetracat. No sabía que ocurría eso con los complejos. Creo que hasta que no me ponga con el tema (tengo mucho que aprender sobre análisis "normal" y otras áreas de las matemáticas antes XD) no entenderé muy bien algunas cosas, aunque viene bien hacerse una idea de lo que te puedes encontrar..

Saludos.