[Alexander Israel Flores G]

¡Muy Buenas! Soy nuevo en el foro y es un gusto formar parte del mismo.

Tengo curiosidad por saber si existe una forma general de factorizar la diferencia de dos cantidades. Sólo se me ha ocurrido estas dos formas particulares:

\( \displaystyle x-y=\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right) \)

\( \displaystyle x-y=\left(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}\right)\left(\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^{2}}\right) \)

Espero podamos charlar sobre este asunto. Gracias.

[ingmarov]

Hola Alexander, bienvenido

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\( \displaystyle x-y=\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right) \)
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Solo un comentario sobre esta factorización. Nota que, trabajando con números reales, el lado izquierdo de la ecuación no nos impone restricciones mientras el lado derecha sí, solo admite valores positivos de "x" e "y". Es decir que no para todo x, y se cumple esa igualdad.

Mira este

\[ x+y=(x+2\sqrt{xy}+y)-2\sqrt{xy}=(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2-\sqrt{4xy}=(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt[4]{4xy})(\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt[4]{4xy}) \]

Esta última tiene el mismo problema que la tuya.

Es entretenido y puede servir como una idea para poder simplificar otro tipo de expresiones, pero en este caso la expresión no se volvió más simple sino más compleja.

Saludos

[mathtruco]

Añadir que las factorizaciones del principio son las factorizaciones de

    \( b^2-a^2=(b-a)(b+a) \) (suma por su diferencia) con \( x=b^2 \), y  \( y=a^2 \), y

    \( b^3-a^3=(b-a)(b^2+ab+a^2) \) con \( x=b^3 \) y \( x=a^3 \).

Así que puedes usar los resultados de factorizaciones clásicas para encontrar más factorizaciones de las que buscas.