Hecho 1. La función \( 1/|\xi|^{s} \) es localmente integrable (en la bola unitaria) si \( s<n \).
Hecho 2. Si \( f\in L^1(\mathbb{R}^n) \)$, entonces \( \widehat{f}\in\mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}^n) \)(acotada).
Sea \( H^{2}:=\left\{u\in L^2(\mathbb{R}^n): \mathcal{F}^{-1}\left((1+|\xi|^2)^2\widehat{f}(\xi)\right)\in L^2(\mathbb{R}^n)\right\} \).
Pregunta 1. Si \( f\in L^2 \), la ecuación \( -\Delta u=f \) tiene una única solución en \( H^{2} \)?
Mi intento: Por hecho 1, la función \( 1/|\xi|^2 \) es localmente integrable en la bola unitaria, así , \( 1/|\xi|^2\in L^1(\mathbb{R}^n) \) cuando \( 2<n \). ¿no?. El candidato a solución es \( u_f=\mathcal{F}^{-1}\left( \frac{1}{|\xi|^2}\widehat{f}\right) \). Por Teorema de convolución, \( u_f=\mathcal{F}^{-1}\left(\frac{1}{|\xi|^2}\right)*f \). Por hecho 1, \( \mathcal{F}^{-1}\left(\frac{1}{|\xi|^2}\right) \) es acotada, entonces \( u_f\in L^2 \). Más aún,
\begin{align}
\mathcal{F}^{-1}\left((1+|\xi|^2)\widehat{u_f}(\xi)\right)&=\mathcal{F}^{-1}\left( \frac{(1+|\xi|^2)}{|\xi|^2}\widehat{f}(\xi)\right)\\
&=\mathcal{F}^{-1}\left(\frac{1}{|\xi|^2}\widehat{f}\right)+\mathcal{F}^{-1}\widehat{f} \\
&=\mathcal{F}^{-1}\left(\frac{1}{|\xi|^2}\widehat{f}\right)+f\\
&=u_f+f
\end{align}
y \( u_f+f\in L^2(\mathbb{R}^n) \) ya que \( u_f, f\in L^2(\mathbb{R}^n) \)
¿Lo anterior es correcto?
Gracias.
