[cadoi]

Buenos días. Estoy atascadillo en un problema, agradecería si alguien me pudiese echar una mano.

Se trata de demostrar que la sucesión recurrente \(a_n = \dfrac{1}{a_{n-1}} + \dfrac{1}{a_{n-2}}\) tiende a \(\sqrt{2}\).

[Masacroso]

Buenos días. Estoy atascadillo en un problema, agradecería si alguien me pudiese echar una mano.

Se trata de demostrar que la sucesión recurrente \(a_n = \dfrac{1}{a_{n-1}} + \dfrac{1}{a_{n-2}}\) tiende a \(\sqrt{2}\).

La sucesión está incompleta, faltan los términos iniciales \( a_0 \) y \( a_1 \). En cualquier caso sería suficiente con demostrar que la sucesión es monótona y acotada, lo que asegura que el límite existe. Entonces el límite \( L \) debe corroborar la relación \( L=\frac1{L}+\frac1{L} \), lo que nos deja que \( L^2=2 \), que dependiendo de lo que hayas demostrado antes (que depende de los términos iniciales \( a_0 \) y \( a_1 \)) dejará el resultado \( L=\sqrt{2} \) ó \( L=-\sqrt{2} \).

[cadoi]

Pon \(a_0=1\), \(a_1=1\), si quieres. Pero la sucesión no es monótona.

[Luis Fuentes]

Hola

 Mira por aquí:

https://math.stackexchange.com/questions/1890531/proof-of-existence-of-a-limit-for-the-sequence-recursively-defined-with-a-1-1

Saludos.

[cadoi]

Muchas gracias por la referencia, Luis.