Rincón Matemático
Matemática => Análisis Matemático => Mensaje iniciado por: esmeraldabrown en 11 Marzo, 2024, 04:57 pm
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Con el Método de Newton resuelva la siguiente ecuación:
\( \displaystyle 0 = \frac{1}{ 2}+ \frac{1}{4}x^2- xsen(x)- \frac{1}{2}cos(2x) \)
itere hasta lograr una exactitud de \( \displaystyle 10^{−5} \) con:
\( \displaystyle p_0 = \frac{\pi}{3}
\\
p_0 = 3\pi \)
Cómo hago los cálculos para obtener la precisión \( \displaystyle 10^{−5} \)?
Ayuda con este método por favor
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Necesito que alguien me explique cómo sé cuándo he alcanzado la precisión que me piden, por favor
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Con el Método de Newton resuelva la siguiente ecuación:
\( \displaystyle 0 = \frac{1}{ 2}+ \frac{1}{4}x^2- xsen(x)- \frac{1}{2}cos(2x) \)
itere hasta lograr una exactitud de \( \displaystyle 10^{−5} \) con:
\( \displaystyle p_0 = \frac{\pi}{3}
\\
p_0 = 3\pi \)
Cómo hago los cálculos para obtener la precisión \( \displaystyle 10^{−5} \)?
Ayuda con este método por favor
Lorena
Cuando se va a aplicar un método numérico como el de Newton-Raphson lo primero que hay que hacer es buscar un intervalo \( [a,b] \) en el que se sepa a ciencia cierta que existe una raíz. Parece que los datos \( \displaystyle p_0 = \frac{\pi}{3}
\\
p_0 = 3\pi \)
indican los valores de \( a,b \) pero si \( f(x) \) es la función que da la ecuación, entonces \( f(\displaystyle\frac{\pi}{3})=0.12 \) y \( f(3\pi)=22.21 \) observando que no podemos asegurar que en intervalo \( [\displaystyle\frac{\pi}{3},3\pi] \) exista una raíz. Habría que hacer un estudio más profundo para asegurarlo. Por ejemplo podríamos estudiar el crecimiento-decrecimiento de la función y ver que si no hay raíz el paso de \( 0.12 \) a \( 22.1 \) es imposible.
Una vez que asegures dónde hay raíz puedes empezar a aplicar el método de Newton observando que da una sucesión de valores (aproximaciones de la raíz) \( x_n \) y que una cota del error relativo se obtiene comparando dos aproximaciones sucesivas \( E=|\displaystyle\frac{x_{n+1}-x_n}{x_{n+1}}| \).
Mira el artículo de Wikipedia https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Newton (https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Newton) y el ejemplo que lo acompaña. En ese ejemplo puedes ver como con 4 iteraciones consigues un error en la 5ª cifra decimal.
Saludos
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Hola, lo que puedo entender del ejercicio es que debo aplicar el método dos veces tomando como valor inicial primero\( \frac{\pi}{3} \)
Y volver a calcular usando \( 3\pi \)
El detalle es que no me logra entrar en la cabeza en que momento debo detenerme , cómo logro saber que he alcanzado la exactitud pedida. ?
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Hola, lo que puedo entender del ejercicio es que debo aplicar el método dos veces tomando como valor inicial primero\( \frac{\pi}{3} \)
Y volver a calcular usando \( 3\pi \)
El detalle es que no me logra entrar en la cabeza en que momento debo detenerme , cómo logro saber que he alcanzado la exactitud pedida. ?
Esmeralda
La iteración del Método de Newton es \( x_{n+1}=x_n-\displaystyle\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \) esto te da la sucesión de aproximaciones. Por ejemplo partiendo de \( 3\pi \) obtenemos 9.424777, 7.853981, 4.926990,..... y tienes la sucesión para aplicar la fórmula del error \( Error=|\displaystyle\frac{x_{n+1}-x_n}{x_{n+1}}| \). Si partes de \( \displaystyle\frac{\pi}{3} \)El problema es que f' es cero en \( \pi/3 \) y no podemos seguir por ahí ¿Cómo resolverlo?
Saludos
PD
En mi respuesta anterior te llamé Lorena. Perdona la equivocación.
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No te preocupes, no me había percatado de eso ;)
Entonces no se puede resolver?
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Hola
Sí tiene solución, lo que ha explicado ancape en su segundo aporte esta muy bien, lo único que se suele entender a \( 10^{-5} \) como la precisión o tolerancia y constituye \( TOL=\left |{x_{n+1}-x_n}\right |<10^{-5} \), la clave de este método para resolver ecuaciones, esta en hacer una curva de la función de tal manera que se vea aproximadamente donde se da \( f(x)=0 \) y partir de un valor cercano a la solución de esta forma la iteración converge, por ejemplo \( P0=1.8 \) realizando varias iteraciones, que generalmente se hacen con un programa o una hoja de cálculo, se llega a la solución.
Saludos
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Pero es que no logro entender cuando me dice que si parto de\( \frac{\pi}{3} \)\( f' \) es cero, por eso pregunto si tiene solución o no? Agradezco cada uno de sus aportes, necesito entender lo que voy hacer , perdonen si suena molesto que pregunte a cada rato
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...
Entonces no se puede resolver?
Da la sensación que el objetivo del ejercicio era discutir las limitaciones del método de Newton en clase pues:
- Los ceros de la función son dobles, esto hace que Newton converja lentamente.
- La función es oscilante, si no se elige con cuidado el punto de partida cada iteración te manda a cualquier parte.
- Los puntos de partida que te dieron son los "que no deberías usar"
Gráficamente y ampliando en los ceros:
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=126197.0;attach=30514)
En casos como estos para decidir el punto inicial la vía simple es ayudarse de la gráfica. Acá eligiendo \( x=2 \) o \( x=\pi \) converge a la raíz. Eso sí, lentamente.
Ahora bien, la función que te dieron puede escribirse \( f(x)=\frac{1}{2} +\frac{1}{4} x^2 - x\sin(x) - \frac{1}{2}\cos(2x) =\left(\dfrac{x}{2}-\sin(x)\right)^2 \)
Aplicando Newton a \( \dfrac{x}{2}-\sin(x)=0 \) si bien persiste el inconveniente del punto inicial, la convergencia es mucho mas rápida.
Respecto a cuando detenerse, según el problema se hace cuando \( \left|x_{k+1}-x_k\right|< \epsilon \) o \( \left| f(x_k) \right|< \epsilon \)
Pero ojo, cuando tenés raíces triples (o mas) el primer criterio no sirve.
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Muy bueno tu aporte Abdulai y la clave esta en el punto de partida cerca de la solución que se quiere precisar, válido incluso cuando hay más de una solución.
Saludos
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Los puntos que me han dado de partida no los puedo utilizar? En el caso de derivar la función he hecho los cálculos y me da\( \frac{x}{2}+sin(2x)-xcos(x)-sin(x) \) al evaluarlo en la función \( \frac{\pi}{3} \) en la expresión derivada me da \( 0.00425 \)
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De poder se puede y creo que si converge pero lentamente.
Saludos
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Me pueden explicar lo de la tolerancia, es decir si por ejemplo me da una cifra de 0.084567 esa cifra tiene una tolerancia de \( 10^{-6} \)? Es lo que no logro entender chicos.
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Se los ruego, necesito ayuda para resolver este ejercicio
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Esmeralda
Si te dan un agujero de diámetro 10 y tienes que pasar por él una bola de diámetro exacto 9.8, observas que no hay problema. Cabe. Si no conoces exactamente el diámetro de la bola pero te dicen que es 9.8 con una tolerancia de 0.5, te están diciendo que el diámetro de la bola puede ser como mínimo 9.8-0.5=9.2 y como máximo 9.8+0.5=10.3. A partir de este dato tú tomarás decisiones. Lo único que significa la tolerancia es el margen de error que se comente con el valor que te dan.
En el caso que expones, te están diciendo que no conoces el valor exacto pero que este está en el intervalo [0.084566,0.084568] esto es, las cinco primeras cifras decimales son exactas.
Cuando aplicas el Método de Newton y obtienes la sucesión \( x_n \) como sucesión de aproximaciones a la raíz y observas que la diferencia entre un término y el siguiente es menor que \( 10^{-6} \) es que has conseguido 5 cifras exactas.
En cuanto al inicio en \( \pi/3 \), el que \( f'(\pi/3)=0 \) dice que el método no puede aplicarse con tal inicio (observa que en \( \pi/3 \) la tangente es horizontal y por tanto no existe intersección con el eje \( x \) como precisa el Método). El que no pueda aplicarse el Método iniciándolo en \( \pi/3 \) no quiere decir que la raíz no exista, ni que no sea cercana a \( \pi/3 \). Simplemente que necesitas partir de otro valor.
Saludos
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Si me dicen que el margen de error es \( 10^{-5} = 0.00001 \)puedo trabajar con una tolerancia de \( 0.00001 \)? Cuál valor tomo como punto de partida ? Cómo justifico en el ejercicio el punto que voy a tomar cuando no es el que me han dado? Perdóname pero no logro entrarle a este ejercicio
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Si me dicen que el margen de error es \( 10^{-5} = 0.00001 \)puedo trabajar con una tolerancia de \( 0.00001 \)? Cuál valor tomo como punto de partida ? Cómo justifico en el ejercicio el punto que voy a tomar cuando no es el que me han dado? Perdóname pero no logro entrarle a este ejercicio
Bien. Puedes usar una tolerancia igual al margen de error permitido. La elección del punto de partida es mas peliagudo pues puede incluso suceder que el punto de partida que se tome esté muy cercano a la raíz buscada pero que en él sea la tangente horizontal y no valga como partida o punto de paso. Si nos dan el punto de partida tendremos control sobre él (basta evitarlo cambiándolo por otro), pero también puede suceder que partamos de un punto en que la tangente no sea horizontal y el el transcurso de la aplicación del Método pasemos por un punto malo.
Si el proceso que se sigue para obtener la sucesión de aproximaciones \( x_{n+1}=x_n-\displaystyle\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \) es manual y encontramos un punto \( a=x_n \) en el que \( f'(a)=0 \) basta empezar de nuevo partiendo por ejemplo de \( 1.01·a \). Si el proceso es automático, por ejemplo si hacemos un programa informático que implemente el Metodo de Newton, debemos introducir una instrucción condicional que reinicie el proceso cuando se obtenga una derivada nula. En este caso hay que prever salir de un posible bucle infinito pulsando determinada tecla. Imagina que te dan \( f(x)=Sen^2(x)+Cos^2(x)=0 \) y te piden hallar sus raíces con el Método de Newton.
Saludos
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Aún no logro resolverlo, estoy muy frustrada. He intentado hacerlo en una hoja de cálculo (excel) y no logro resolverlo, necesito ayuda
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Intenté resolverlo en excel:
Adjunto el archivo
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Intenté resolverlo en excel:
Adjunto el archivo
Ya antes se vió que \( x_0=\frac{\pi}{3} \) es un mal punto inicial pues la derivada es nula --> y con valores levemente diferentes el siguiente punto queda a kilómetros. Recordá que en el método de Newton el siguiente punto es la intersección de la recta tangente en el punto inicial con el eje x, y si la recta es casi horizontal...
Si en la planilla hubieses partido de \( x_0=1.1 \) ya te converge sin problemas y mejor si lo haces de 1.5 o 2
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Me puedes decir como lo haces ? Es que en la planilla he sustituido como me dices y no logro que converja, será que lo he programado mal? Por más puntos que coloco siempre me pide continuar y no converge. También he probado con
\( 3 \pi \) y tampoco logro la exactitud pedida.
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Intenté resolverlo en excel:
Adjunto el archivo
Coincido con Abdulai en que el problema que te han propuesto tiene como objetivo que veas las limitaciones del Método de Newton. Creo que así debes exponer la solución a tus profesores. Efectivamente el Método de Newton para calcular raíces de funciones es de convergencia muy rápida cuando la hay, pero el inconveniente es que este método da sucesiones tal vez no convergentes incluso si el punto de partida es muy cercano a la solución. Por otra parte, la frase "muy cercano" no sabemos exactamente qué significa.
Te adjunto varias copias de pantalla en las que aplico el Método de Newton partiendo de \( 3\pi \) (si partimos de \( \displaystyle\frac{\pi}{3} \) debemos detenernos inmediatamente).
La gráfica de \( f(x) \) es la que está en verde.
Partimos del punto \( Q0=(3\pi,f(3\pi)) \). La expresión \( x_{n+1}=x_n-\displaystyle\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \) no da los valores \( q1,q2,q3,..... \) y los puntos \( Q1=(q1,f(q1)),Q2=(q2,f(q2)),..... \). Hasta \( Q3 \) estoy cerca de una raíz pero a partir de la tercera iteración se obtienen valores \( q4,q5,q6,.... \) descompasados. Esto nos indica que debemos cambiar de método pues si elegimos otro punto de partida tal vez lleguemos a una ausencia de convergencia y hayamos trabajado en balde.
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=126197.0;attach=30521)
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=126197.0;attach=30523)
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=126197.0;attach=30525)
Saludos
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Me puedes decir como lo haces ? Es que en la planilla he sustituido como me dices y no logro que converja, será que lo he programado mal? Por más puntos que coloco siempre me pide continuar y no converge. También he probado con
\( 3 \pi \) y tampoco logro la exactitud pedida.
Tenés mal la fórmula en las celdas donde comparas si FIN o CONTINUA
Ajunto tu planilla corregida y de paso agregué utilizando \( \sin x -\dfrac{x}{2}=0 \) para comparar la convergencia.
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Gracias por tanto, cómo hago para concluir el ejercicio, ? No entiendo que significan los valores de la h en adelante, hasta el final :-\ Cómo redacto la solución?
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Eso era un agregado para mostrar la diferencia en la convergencia. No es algo que te hayan pedido --> borralo.
Ahi la solución se alcanza en la iteración 15.
Pero no te olvides que son tres raíces \( \pm 1.89549 \;,\; 0 \) y que deben tomarse otros puntos iniciales porque los que te dieron no sirven (como se repitió varias veces)