Hola tengo el siguiente enunciado , es un verdadero falso
La función \( f:R^2\to R \) es derivable en toda dirección en cualquier punto de \( R^2 \) siendo
\( \hat r=(u,v) \), si \( f' ((1,2)\cdot \hat r)=4u+3v^2\rightarrow{f(1,2)} \) puede ser un extremo local
Para mi es F, dado que puedo calcular las derivadas parciales y con ellas obtener el gradiente de f,
\( \nabla f(1,2)=(4,3)\neq (0,0) \), no cumple la condición necesaria , solo que no se si esta bien justificado
Pero porque f tiene que ser liineal necesariamente?
f'(A,r) es la definición de las derivadas direccionales , no entiendo porque decís que es f'(12)r
La notación es muy extraña (entiendo que debe querer decir la derivada direccional en el punto \( (1,2) \) en la dirección \( \hat{r} \)).
Pero lo de la linealidad no veo tan claro que sea una errata. Para asegurar que las derivadas direccionales son lineales necesitas que \( f \) sea diferenciable. Pero aquí lo único que dicen sobre \( f \) es que existen todas las derivadas direccionales en cualquier punto. Podría ser que existieran todas las derivadas direccionales, \( f \) fuera no diferenciable y las derivadas direccionales no fueran lineales. En este caso tampoco vale la expresión de las derivadas direccionales con el gradiente.
Pero lo de la linealidad no veo tan claro que sea una errata. Para asegurar que las derivadas direccionales son lineales necesitas que \( f \) sea diferenciable.
La igualdad \( \nabla f(A)\cdot \hat r=f(A,\hat r) \) solo se cumple si f es diferenciable , en ese ejercicio como bien dicen no es diferenciable dado que no tengo una expresión lineal , pero lo que si puedo asegurar es que las derivadas parciales existen y su valor seria
\( \dfrac{df}{dx}(1,2)=4,\dfrac{df}{dy}(1,2)=3 \)
Tomando las direcciones \( \hat r=(1,0),\hat r=(0,1) \) dado que la función es derivable en toda dirección puedo obtener de esa manera las derivadas parciales , esto es correcto ???
Cierto; pero aun así, (sino me equivoco esta vez ;)), lo que si tiene que cumplirse en cualquier caso para las direccionales es que sean homogéneas de grado uno, es decir, lineal para producto por escalar:
\( f'(A,k\vec r)=kf'(A,\vec r) \)
Y eso no se cumple en la expresión dada con ese término cuadrático.
Comentar que creo que el problema del ejercicio está explicado en este video:
Allí usan la derivada direccional y no el producto, además de un múltiple choice.
No comprendo bien que queres decir con eso que resalte en rojo , esta expresiónLa igualdad \( \nabla f(A)\cdot \hat r=f(A,\hat r) \) solo se cumple si f es diferenciable , en ese ejercicio como bien dicen no es diferenciable dado que no tengo una expresión lineal , pero lo que si puedo asegurar es que las derivadas parciales existen y su valor seria
\( \dfrac{df}{dx}(1,2)=4,\dfrac{df}{dy}(1,2)=3 \)
Tomando las direcciones \( \hat r=(1,0),\hat r=(0,1) \) dado que la función es derivable en toda dirección puedo obtener de esa manera las derivadas parciales , esto es correcto ???
Si; si la expresión de la direccional fuese correcta esas serían las parciales, que son al fin y al cabo un caso particular de direccionales para los vectores de la base canónica.
Saludos.
Si; si la expresión de la direccional fuese correcta esas serían las parciales, que son al fin y al cabo un caso particular de direccionales para los vectores de la base canónica.No comprendo bien que queres decir con eso que resalte en rojo , esta expresión
\( f' ((1,2)\cdot \hat r)=4u+3v^2 \), no me permite hallar las derivadas parciales simplemente tomando las direcciones que puse en mi mensaje anterior ??
Entonces en este caso esto no es correcto \( \nabla f(1,2)=(4,3) \) ??
Para la existencia de extremos , es correcto afirmar que si una función es derivable para toda dirección no es condición suficiente para afirmar que hay un extremo en A?
Si es diferenciable es suficiente para afirmar que dichos extremos puedan existir?