Hola Juan Pablo, gracias por responder.
Sí, eso que has puesto lo sé. Lo que me cuesta es a partir de ahí.
Si no te importa en lugar de alfa voy a usar c porque yo aquí alfa no lo encuentro.
A partir de lo que has escrito sería: Como f(x) es continua en [a,b] entonces es continua en \( c\in{(a,b)} \).
Por otro lado, el teorema de conservación del signo dice que si f(x) es continua en un punto c, entonces el signo de f(c) es igual al signo de todo x perteneciente a un entorno de c. Y ahora se pueden dar dos casos: (Y esto es lo que me cuesta entender que no sé si lo razono bien)
a) Que f(c)<0 en cuyo caso \( \exists{x\in{(c, c+\delta)}} \) (con delta me refiero al radio del entorno de c), tal que \( x\in{A} \) y además x es mayor que c, es decir x>c. Eso significa que c no es cota superior de A, ya que hay otro valor en A, que es el x, que es mayor que c, por tanto c no puede ser cota superior de A, y por ende no es el supremo de A. Luego f(c) no puede ser menor que 0.
b)Que f(c)>0 en cuyo caso \( \exists{x\in{(c-\delta, c)}} \) (delta el radio del entorno de c) tal que f(x)>0. Es decir, \( \exists{x\in{(c-\delta, c)}} \) que no pertenece a A y que es menor que c, x<c. En consecuencia, x es cota superior de A, y c ya no es la cota superior mínima de A, es decir, c ya no es el supremo de A porque hay otra cota superior más pequeña que c que es x. Luego f(c) no puede ser mayor que 0.
Si f(c) no puede ser mayor ni menor que cero, entonces, solo puede ser igual a cero.
Mis dudas vienen en que en los apartados a) y b) creo que hay errores.
Gracias. Un saludillo
