[Rania]

Hola a todos, estaba viendo este ejercicio, pero no lo estoy entendiendo. Había hecho algo pero estaba mal y creo que me estoy enredando más con variaciones, y combinaciones que con teoría de probabilidad.

El ejercicio es el siguiente:

De un grupo de 6 mujeres y 4 hombres se deben elegir 3 personas para que los representen en tres congresos a desarrollarse en mayo, junio y septiembre.
a) Suponiendo que una persona puede ir a más de un congreso,  calcular la probabilidad de que :
     i) a los dos primeros congresos vayan mujeres.
     ii) a los dos primeros congresos vayan mujeres y al tercero un hombre.
    iii) haya por lo menos una mujer entre las 3 personas elegidas.
b) Si a cada congreso debe ir una persona diferente, calcular las mismas probabilidades que en (a) y además la probabilidad de que haya exactamente una mujer entre las 3 personas elegidas.

En si mi duda es sobre cómo razonarlo, había pensado en ternas $$(c_1,c_2,c_3)$$,$$ c_i \in{\{m_1,m_2,m_3,m_4,m_5,m_6,h_1,h_2,h_3,h_4\}, i\in{\{1,2,3\}}} $$ que representan todas las combinaciones posibles de 3 representantes.  Pero me confunde las combinaciones posibles con mujeres que vayan a los 2 primeros congresos.

¿Alguna pista para plantearlo de manera clara?

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

El ejercicio es el siguiente:

De un grupo de 6 mujeres y 4 hombres se deben elegir 3 personas para que los representen en tres congresos a desarrollarse en mayo, junio y septiembre.
a) Suponiendo que una persona puede ir a más de un congreso,  calcular la probabilidad de que :
     i) a los dos primeros congresos vayan mujeres.
     ii) a los dos primeros congresos vayan mujeres y al tercero un hombre.
    iii) haya por lo menos una mujer entre las 3 personas elegidas.
b) Si a cada congreso debe ir una persona diferente, calcular las mismas probabilidades que en (a) y además la probabilidad de que haya exactamente una mujer entre las 3 personas elegidas.

En si mi duda es sobre cómo razonarlo, había pensado en ternas $$(c_1,c_2,c_3)$$,$$ c_i \in{\{m_1,m_2,m_3,m_4,m_5,m_6,h_1,h_2,h_3,h_4\}, i\in{\{1,2,3\}}} $$ que representan todas las combinaciones posibles de 3 representantes.  Pero me confunde las combinaciones posibles con mujeres que vayan a los 2 primeros congresos.

Lo puedes plantear así si quieres.

Supuesto que podemos repetir personas, los casos totales serían \( 10^3 \).

Para calcular la probabilidad de que las haya alguna mujer es más fácil calcular la complementaria, que todos sean hombres. Los casos favorables serían \( 4^3 \) y la probabilidad pedida:

\( 1-\dfrac{4^3}{10^3} \)

La probabilidad de que en los dos vayan mujeres y en el tercero hombres sería:

\( \dfrac{6\cdot 6\cdot 4}{10^3} \)

¿Alguna duda al respecto?¿sabes continuar?.

Saludos.

[Rania]

Hola Luis, muy amable por responder, gracias.

Supuesto que podemos repetir personas, los casos totales serían \( 10^3 \).

Entiendo que 10 corresponde al total de integrantes del grupo. Pero ¿por qué lo elevamos al cubo? ¿Por la elección de 3 representantes? Yo pensaba que el total de formas de elegir 3 representantes de un total de 10 personas era usando $${10 \choose 3}$$. Creo que aplicas la regla del producto, de manera que hay 10 opciones para el 1°, el 2° y el 3°. Pero no veo bien sobre que estaríamos trabajando.

[Masacroso]

Luis te ha respondido sobre los casos a.iii), que la probabilidad es \( 1-\frac{4^3}{10^3} \), y luego sobre a.ii) que es \( \frac{6\cdot 6\cdot 4}{10^3} \). En la parte a) del ejercicio se hacen elecciones con repetición, por lo tanto las elecciones para cada viaje son independientes.

Por aclarar: para el caso a.i) tienes que multiplicar la probabilidad de que una mujer vaya al primer congreso por la probabilidad de que también una mujer vaya al segundo. Esos eventos son independientes, es decir, uno no influye en el otro porque las personas pueden repetir. Entonces el resultado sería \( \frac{6}{10}\cdot \frac{6}{10} \) porque en cada caso eliges entre \( 10 \) personas entre las cuales hay exactamente \( 6 \) mujeres.

Como te dice Luis en a.iii) la probabilidad de que todos los que vayan sean hombres es \( \frac{4}{10}\cdot \frac{4}{10}\cdot \frac{4}{10} \) porque para cada congreso elegimos entre \( 10 \) personas entre las cuales exactamente \( 4 \) son hombres. Y la probabilidad complementaria es que vaya al menos una mujer, que es \( 1-\frac{4^3}{10^3} \).

En b) las elecciones son sin repetición, o dicho de otro modo, sin reposición: quien haya ido a un congreso no va a ninguno más. Entonces aquí para cada congreso eliges entre cada vez menos gente y con una distribución de hombres y mujeres que depende de quienes hayan ido a congresos anteriores, por ejemplo, tienes que si el asistente al primer congreso es mujer entonces las probabilidades de que una mujer asista al segundo congreso van a cambiar por ese hecho.

Por ejemplo, para resolver b.i) tienes que multiplicar la probabilidad de que una mujer vaya al primer congreso por la probabilidad de que una mujer vaya al segundo, que sería \( \frac{6}{10}\cdot \frac{5}{9} \), ya que para la segunda elección sólo contamos con \( 9 \) personas porque la primera ya no puede repetir, y entre esas \( 9 \) personas hay exactamente \( 5 \) mujeres (y \( 4 \) hombres).

No sé si así lo ves más claro.

[Luis Fuentes]

Hola

Entiendo que 10 corresponde al total de integrantes del grupo. Pero ¿por qué lo elevamos al cubo? ¿Por la elección de 3 representantes? Yo pensaba que el total de formas de elegir 3 representantes de un total de 10 personas era usando $${10 \choose 3}$$.

Eso sería si no distinguimos entre congresos, es decir, nos importa el orden en que elegimos los tres respresentanes.

Creo que aplicas la regla del producto, de manera que hay 10 opciones para el 1°, el 2° y el 3°. Pero no veo bien sobre que estaríamos trabajando.

Si es la recta del producto. Es el cardinal del conjunto que tu misma indicabas:

\( \{(c_1,c_2,c_3)|c_i\in \{m_1,m_2,m_3,m_4,m_5,m_6,h_1,h_2,h_3,h_4\}\} \)

Saludos.