[claudem]

Hola a todos, me han planteado este problema en clase y no estoy segura de ir por buen camino. Lo enuncio:

Sea \( (X,M) \) un espacio medible, \( (x_n)_{n\in{\mathbb{N}}} \) una sucesión en \( X \) y \( (p_n)_{n\in{\mathbb{N}}} \) otra sucesión de números positivos. Considérese \(  m: M\longrightarrow{[0,+\infty]} \) definida por \( m(E):=\displaystyle\sum_{x_n\in{E}}{p_n} \)

a) Probar que m es una medida.

b) Probar que la clase de los subconjuntos m-medibles, \( M_m:=\left\{{E\subseteq{X}  :  \exists{A,B\in{M}}  ,  A\subseteq{E\subseteq{B}}  ,  m(B-A)=0}\right\}  \) es una sigma-álgebra.

c) Demostrar que \( M_m = P(X) \)  (el conjunto potencia/conjunto de las partes de X) si y sólo si para todo \( n\in{\mathbb{N}} \), se tiene que \( \left\{{x_n}\right\}\in{M} \)

Me ayudaría mucho cualquier respuesta u orientación para resolverlo, muchas gracias.

[Masacroso]

Para el a) tienes que utilizar la definición de medida, es decir, ver que \( m \) cumple que es no-negativa y contable-aditiva. Para el b) utilizar la definición de \( \sigma  \)-álgebra, es decir, que la familia de conjuntos dada está cerrada mediante la operación de unión contable y la toma de complementos, una demostración sencilla sale de utilizar la subaditividad contable de toda medida. La parte c) se resuelve también utilizando la definición de \( \sigma  \)-álgebra, pero primero resuelve las partes a) y b) y luego intenta la c).

[claudem]

Gracias por su ayuda