Hola
Buenas, no sé cómo resolver este ejercicio. En cuanto veo \( \mathbf{R^2} \) pienso en la medida producto y me sale humo...
Sea \( \)m la medida de Lebesgue en \( \mathbf{R^2} \):
Demostrar que si \( f \) es una función Borel simple medible, entonces: \( m\{(x, f(x): x \in \mathbf{R}\}=0 \).
Demostrar además que esta condición sigue siendo cierta para toda función \( f: \mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R} \)
Si el grafo de la función \( G=\{(x,f(x)|x\in \Bbb R\} \) es medible sólo puede tener medida cero.
En otro caso existiría un conjunto \( H=G\cap [n,n+1)\times [m,m+1) \) con medida no nula \( \epsilon \). Como la medida se conserva por traslaciones, \( m(H+(0,t))=m(H)=\epsilon \) pero entonces:
\( m\left(\displaystyle\bigcup_{n\in \Bbb N} H+(0,1/n)\right)=+\infty \) (es la medida de la unión disjunta de infinitos conjuntos de medida \( \epsilon \))
Pero eso es imposible porque \( \displaystyle\bigcup_{n\in \Bbb N} H+(0,1/n)\subset [n,n+1)\times [m,m+2] \) que tiene medida \( 2 \).
Con esto sólo te queda ver que el grafo es un conjunto medible. Esto es cierto si \( f \) es medible, pero NO es necesariamente cierto si \( f \) es una función arbitraria.
Saludos.