[lex]

Buenas, todavía no veo bien como probar esto, alguna orientación sera de mucha ayuda.

Se considera el intervalo \( [0,1] \) dotado de la medida de Lebesgue. Dado \( \alpha \in \mathbb{R} \), considerese \( f_n^{(\alpha)} \) la sucesión de funciones en \( [0,1] \) definida por \( f_n^{(\alpha)}(x)= n^{\alpha}x^{n} \). Probar que para todo \( \alpha \in \mathbb{R} \), \( f_n^{(\alpha)} \) converge casi siempre en \( [0,1] \) e identificar el límite. Ahora para cada \( p \in [1, \infty] \), identificar los valores de \( \alpha \) para los cuales \( f_n^{(\alpha)} \) converge en \(  L^p ([0,1]) \)

[Luis Fuentes]

Hola

Se considera el intervalo \( [0,1] \) dotado de la medida de Lebesgue. Dado \( \alpha \in \mathbb{R} \), considerese \( f_n^{(\alpha)} \) la sucesión de funciones en \( [0,1] \) definida por \( f_n^{(\alpha)}(x)= n^{\alpha}x^{n} \). Probar que para todo \( \alpha \in \mathbb{R} \), \( f_n^{(\alpha)} \) converge casi siempre en \( [0,1] \) e identificar el límite. Ahora para cada \( p \in [1, \infty] \), identificar los valores de \( \alpha \) para los cuales \( f_n^{(\alpha)} \) converge en \(  L^p ([0,1]) \)

- Si \( \alpha<0 \) entonces \( n^\alpha\to 0 \) y \( x^n \) está acotado en \( [0,1] \), por tanto la sucesión convergen en todo punto de \( [0,1] \) a cero.

- Si \( \alpha=0 \) entonces \( f_n(x)=x^n \) y converge a cero para \( x\in [0,1) \) y a uno para \( x=1 \).

- Si \( \alpha>0 \) entonces \( n^\alpha\to \infty \) y \( x^n\to 0 \) si \( x\in [0,1) \) y \( x^n=1 \) si \( x=1 \). Por tanto para \( x=1 \) no converge. Para \( x\in [0,1) \) si convergen porque es el producto de una polinómica que converge a infinito por una exponencial que converge a cero.

Spoiler

Si tienes \( \dfrac{n^\alpha}{a^n} \) con \( a>1,\alpha>0 \), al calcular el límite puedes aplicar L'Hopital y queda:

\( \dfrac{\alpha n^{\alpha-1}}{a^n\cdot log(a)} \)

 reiterando hasta que el exponente de \( n \) sea negativo o cero se concluye que el límite es cero.

[cerrar]

 Para la convergencia en \( L^p \) tienes que analizar por tanto la convergencia de:

\( \displaystyle\int_{0}^{1}f_n(x)^pdx=n^{\alpha p}\displaystyle\int_{0}^{1}x^{np}dx=\ldots \)

continúa...

Saludos.

[lex]

Buenas Luis gracias por la respuesta, siempre acertados tus comentarios. La idea de la primera parte era estudiar los casos con \( \alpha \), tenia la duda. Ahora intentare redactar todo y muestro como quedo la parte final que debo continuar.