[Ricardo Luiss]

Se considera el espacio de medida $$(\mathbb{R}$$, $$\mathcal{B}(\mathbb{R})$$, $$\lambda)$$, siendo $$\mathcal{B}(\mathbb{R})$$ la $$\sigma$$-álgebra de borelianos de $$\mathbb{R}$$ y $$\lambda$$ la medida de Lebesgue restringida a ellos. Para $$A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$$, sea
$$
\mu(A):=\int_A e^{-x} d \lambda(x) .
$$
Mi duda es sobre cómo calcular la medida del conjunto $$A$$ cuando toma la forma de algún intervalo, como por ejemplo $$\mu([0, \infty])$$ o $$\mu(\mathbb{R})$$, en donde en el primero solo hay valores positivos y en el segundo también negativos.
A la hora de intetar aplicar a este caso concreto la definición medida de lebesgue
\begin{equation*}
   \lambda(A):=\operatorname{Inf}\left\{\sum_{n=1}^{\infty} v\left(I_n\right) ; A \subseteq \cup_{n \in \mathbb{N}} I_n: n \in \mathbb{N}, I_n \in \mathcal{I}^N,\right\}
\end{equation*}
donde $$\mathcal{I}^N$$ es la familia de intervalos acotados y $$v(I_n)$$ son los valores de las longitudes de los intervalos, me atasco. En mi ejemplo, por ser unidimensional, $$n=1$$.
La integración es respecto a la variable $$\lambda(x)$$ sobre el conjunto $$A$$ elegido, en este caso $$[0, \infty]$$ o $$\mathbb{R}$$.

[Luis Fuentes]

Hola

Se considera el espacio de medida $$(\mathbb{R}$$, $$\mathcal{B}(\mathbb{R})$$, $$\lambda)$$, siendo $$\mathcal{B}(\mathbb{R})$$ la $$\sigma$$-álgebra de borelianos de $$\mathbb{R}$$ y $$\lambda$$ la medida de Lebesgue restringida a ellos. Para $$A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$$, sea
$$
\mu(A):=\int_A e^{-x} d \lambda(x) .
$$
Mi duda es sobre cómo calcular la medida del conjunto $$A$$ cuando toma la forma de algún intervalo, como por ejemplo $$\mu([0, \infty])$$ o $$\mu(\mathbb{R})$$, en donde en el primero solo hay valores positivos y en el segundo también negativos.
A la hora de intetar aplicar a este caso concreto la definición medida de lebesgue
\begin{equation*}
   \lambda(A):=\operatorname{Inf}\left\{\sum_{n=1}^{\infty} v\left(I_n\right) ; A \subseteq \cup_{n \in \mathbb{N}} I_n: n \in \mathbb{N}, I_n \in \mathcal{I}^N,\right\}
\end{equation*}
donde $$\mathcal{I}^N$$ es la familia de intervalos acotados y $$v(I_n)$$ son los valores de las longitudes de los intervalos, me atasco. En mi ejemplo, por ser unidimensional, $$n=1$$.
La integración es respecto a la variable $$\lambda(x)$$ sobre el conjunto $$A$$ elegido, en este caso $$[0, \infty]$$ o $$\mathbb{R}$$.

No acabo de entender del todo la pregunta. La medida que te han definido no es más que la integral usual de una función sobre el conjunto que quieres medir. Por ejemplo:

\( \mu([0,+\infty))=\displaystyle\int_{0}^\infty e^{-x}dx=1 \)

Esto es debido a que integras respecto a la medida de Lebesgue y esa integral coincide con la de Riemann (para funciones Riemann integrables).

Saludos.

[Ricardo Luiss]

Hola, gracias por responder. El diferencial, creo,  es con respecto a la la medida de Lebesgue $$\lambda(x)$$ es por ello que cuando integras se queda una expresión distinta a las que has proporcionado
$$
\mu(A):=\int_A e^{-x} d \lambda(x)= \int_{[0, \infty]} e^{-x}d\lambda(x)=e^{-x}\cdot\lambda([0, \infty])
$$
Ahora, como estamos trabajando con la medida de Lebesgue, tenemos que buscar intervalos que su unión numerable sea el intervalo inicial $$[0, \infty]$$. Mi intento ha sido coger intervalos disjuntos dos a dos y usar las propiedades básicas de la medida de Lebesgue
$$
\begin{gathered}
\lambda([0, \infty))=\lambda([0, 0+1) \cup[0+1, 0+2) \ldots)=\lambda\left(\bigcup_{k=0}^{\infty}[0+k, 0+k+1)\right)= \\
=\sum_{k=0}^{\infty} \lambda([0+k, 0+k+1))=\sum_{k=0}^{\infty} 1=\infty
\end{gathered}
$$
Haciendo esto, sale una longitud infinita multiplicada  por la exponencial $$e^{-x}$$, dando un resultado distinto al que has mostrado. No sé que paso estoy haciendo mal para que no me de el mismo resultado que el suyo.

(Tengo dudas si el intervalo se aplica también a la exponencial o no)

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, gracias por responder. El diferencial, creo,  es con respecto a la la medida de Lebesgue $$\lambda(x)$$ es por ello que cuando integras se queda una expresión distinta a las que has proporcionado
$$
\mu(A):=\int_A e^{-x} d \lambda(x)= \int_{[0, \infty]} e^{-x}d\lambda(x)=e^{-x}\cdot\lambda([0, \infty])
$$

¡No! Pero no puedes sacar fuera \( e^{-x} \).

Grosso modo:

-La integral respecto de una medida para una función constante se define así:

\( \displaystyle\int_A k  d\lambda(x)=k\cdot \lambda(A) \)

- Para funciones simples \( f(x)=\displaystyle\sum_{i=1}^n{}k_i\cdot \chi_{A_i} \)

\( \displaystyle\int_A f(x)  d\lambda(x)=\displaystyle\sum_{i=1}^nk_i\cdot \lambda(A\cap A_i) \)

- Para una función cualquiera (medible) positiva se escribe como límite de funciones simples y la integral es el límite de las integrales de las funciones simples.

- Para una no necesariamente positiva se separa en su parte positiva menos la negativa y se integran a aparte.

Pues bien se prueba que cuando se aplica esta construcción integrando respecto la medida de Lebesgue, la integral coincide con la integral de Riemann (siempre que la función sea Riemann integrable):

\( \displaystyle\int_{A}f(x)d\lambda(x)=\displaystyle\int_{A}f(x)dx \)

Saludos.

[Ricardo Luiss]

Vale, lo he entendido bastante mejor con su explicación desglosando cada caso típico usando funciones simples.
He estado leyendo un poco de teoría sobre esto en inglés a raíz de su  último comentario por distintos sitios y creo que ya lo comprendo.
Resumiendo:

como dijo en su primer mensaje, aunque no explícitamente, si es integrable Riemann entonces es integrable Lebesgue y se tiene la igualdad dada
\begin{equation*}
   \int_{A}f(x)d\lambda (x) = \int_{A} f(x)dx
\end{equation*}
Así que pasa de ser un problema de teoría de la medida a una de análisis de "toda la vida". Pero el recíproco, no es cierto (no lo sabía). Si es integrable Lebesgue no implica que sea integrale Riermann. Un ejemplo es la función de Dirichlet restringida en $$[0,1]$$.

Dejo el enlace de donde encontré esto último:
https://mathcs.org/analysis/reals/integ/answers/rmimplb2.html

Gracias por los mensajes.

[Luis Fuentes]

Hola

Vale, lo he entendido bastante mejor con su explicación desglosando cada caso típico usando funciones simples.
He estado leyendo un poco de teoría sobre esto en inglés a raíz de su  último comentario por distintos sitios y creo que ya lo comprendo.
Resumiendo:

como dijo en su primer mensaje, aunque no explícitamente, si es integrable Riemann entonces es integrable Lebesgue y se tiene la igualdad dada
\begin{equation*}
   \int_{A}f(x)d\lambda (x) = \int_{A} f(x)dx
\end{equation*}
Así que pasa de ser un problema de teoría de la medida a una de análisis de "toda la vida". Pero el recíproco, no es cierto (no lo sabía). Si es integrable Lebesgue no implica que sea integrale Riermann. Un ejemplo es la función de Dirichlet restringida en $$[0,1]$$.

Dejo el enlace de donde encontré esto último:
https://mathcs.org/analysis/reals/integ/answers/rmimplb2.html

Gracias por los mensajes.

Correcto.

Saludos.