[alumnolibre]

Hola, si alguien pudiera pudiera aclararme las dudas sobre esta demostración

Sean $$G_1$$ y $$G_2$$ dos subconjuntos abiertos acotados de $$\mathbb{R}$$, y $$F \subseteq \mathbb{R}$$ cerrado tal que $$F\subseteq G_1$$, $$F\subseteq G_2$$. Entonces resulta:

$$l(G_1)-l(G_1\backslash F)=l(G_2)-l(G_2 \backslash F)$$

Demostración:

Se sabe que:

$$l(G_1)+l(G_2\backslash F)=l(G_1 \cup (G_2\backslash F))+l(G_1\cap (G_2\backslash F))$$

Pero, como $$F\subseteq G_1$$, $$G_1 \cup (G_2\backslash F)=G_1 \cup G_2$$ y $$G_1\cap (G_2\backslash F)=(G_1 \cap G_2)\backslash F$$

Se tiene: $$l(G_1)+l(G_2\backslash F)=l(G_1\cup G_2)+l((G_1\cap G_2)\backslash F)$$

Del mismo modo:

$$l(G_2)+l(G_1\backslash F)=l(G_1\cup G_2)+l((G_1\cap G_2)\backslash F)$$ (¿Para llegar a esta conclusión toma que G2 esta contenido en G1 y en la primera parte lo contrario?¿Por qué?)

Por ser $$G_1$$ y $$G_2$$ conjuntos abiertos y acotados, la igualdad sigue de inmediato (¿Si los conjuntos no fueran abiertos y acotados, no podría darse la igualdad?)

[Masacroso]

Hola, si alguien pudiera pudiera aclararme las dudas sobre esta demostración

Sean $$G_1$$ y $$G_2$$ dos subconjuntos abiertos acotados de $$\mathbb{R}$$, y $$F \subseteq \mathbb{R}$$ cerrado tal que $$F\subseteq G_1$$, $$F\subseteq G_2$$. Entonces resulta:

$$l(G_1)-l(G_1\backslash F)=l(G_2)-l(G_2 \backslash F)$$

Demostración:

Se sabe que:

$$l(G_1)+l(G_2\backslash F)=l(G_1 \cup (G_2\backslash F))+l(G_1\cap (G_2\backslash F))$$

Pero, como $$F\subseteq G_1$$, $$G_1 \cup (G_2\backslash F)=G_1 \cup G_2$$ y $$G_1\cap (G_2\backslash F)=(G_1 \cap G_2)\backslash F$$

Se tiene: $$l(G_1)+l(G_2\backslash F)=l(G_1\cup G_2)+l((G_1\cap G_2)\backslash F)$$

Del mismo modo:

$$l(G_2)+l(G_1\backslash F)=l(G_1\cup G_2)+l((G_1\cap G_2)\backslash F)$$ (¿Para llegar a esta conclusión toma que G2 esta contenido en G1 y en la primera parte lo contrario?¿Por qué?)

No, lo que hace es observar que $$F\subseteq G_1$$, $$G_1 \cup (G_2\backslash F)=G_1 \cup G_2$$ y $$G_1\cap (G_2\backslash F)=(G_1 \cap G_2)\backslash F$$ para concluir que $$l(G_1)+l(G_2\backslash F)=l(G_1\cup G_2)+l((G_1\cap G_2)\backslash F)$$. Y el mismo razonamiento funciona si intercambiamos los papeles de \( G_1 \) y de \( G_2 \), por tanto también se concluye que $$l(G_2)+l(G_1\backslash F)=l(G_1\cup G_2)+l((G_1\cap G_2)\backslash F)$$.

Por ser $$G_1$$ y $$G_2$$ conjuntos abiertos y acotados, la igualdad sigue de inmediato (¿Si los conjuntos no fueran abiertos y acotados, no podría darse la igualdad?)

Si no fueran acotados podría fallar, por ejemplo fíjate que pasaría si tomamos \( G_1=G_2=\mathbb{R} \) y \( F=\{0\} \). Lo de que sean abiertos aquí es superfluo, es suficiente con que \( G_1 \) y \( G_2 \) sean conjuntos medibles y que \( F \) esté contenido en ambos.