[Masacroso]

Hola,

Masacroso, leyendo tu nuevo mensaje me surge una duda del anterior, pues lo habia entendido mal:

2) Si \( g:\mathbb{R}\to \mathbb{R} \) es una función medible no-negativa y periódica de periodo uno entonces \( \int_{[0,1)}g\,d m=\int_{[r ,1+r )}g\,d m \) para todo \( r\in \mathbb{R} \).

También es claro, pues:

\( \displaystyle\int_{[r ,1+r )}g\,d m = \int_{\mathbb{R}}g(x)\chi_{[r ,1+r )}(x)\,d m(x)=\int_{\mathbb{R}}g(x-r)\chi_{[r ,1+r )}(x-r)\,d m(x)=\int_{\mathbb{R}}g(x)\chi_{[0 ,1 )}(x)\,d m(x) \)

donde en el tercer paso use la invarianza por traslación de la integral y en el cuarto que \( g \) es \( r \) periódica.

Ahora no veo tan claro como probar la propiedad de la integral.

Sean \( p,r\geqslant 0 \), entonces

\( \displaystyle{
\mathbf{1}_{[r,p+r)}=\mathbf{1}_{[0,p+r)}-\mathbf{1}_{[0,r)}=\mathbf{1}_{[0,p)}+\mathbf{1}_{[p,p+r)}-\mathbf{1}_{[0,r)}\tag1
} \)

Ahora bien, si \( f \) es periódica de periodo \( p \) se tiene que \( f(x+kp)=f(x) \) para todo \( x\in \operatorname{dom}(f) \) y todo \( k\in \mathbb{Z} \), por tanto

\( \displaystyle{
\int_{[p,p+r)}f(x)\,d x=\int_{[0,r)}f(y+p)\,d y=\int_{[0,r)}f(y)\,d y\tag2
} \)

Uniendo (1) y (2) tienes que \( \int_{[r,p+r)}f(x)\,d x=\int_{[0,p)}f(x)\,d x \) para todo \( r\geqslant 0 \). Un análisis similar muestra que también se cumple si \( r<0 \).

Por otro lado, para probar:

\( A\cap [-\alpha (\theta ),1-\alpha (\theta )){\color{red}{+\alpha (\theta )}}=(A+\theta )\cap [0,1) \) para todo \( A\subset \mathbb{R}/\mathbb{Z} \) medible, donde hay que observar que \( \theta  \) es aquí un conjunto (un elemento de \( \mathbb{R}/\mathbb{Z} \)).

Tengo lo siguiente:
Si \( x\in A\cap [-\alpha(\theta),1-\alpha(\theta)) \) entonces \( x+\alpha(\theta)\in[0,1) \) y como \( x\in A \) y \( \alpha(\theta)\in\theta \) tenemos que \( x+\alpha(\theta)\in (A+\theta)\cap[0,1) \).

Correcto.

Para la otra inclusion:
Si \( x \in (A+\theta)\cap[0,1) \) entonces \( x=a+y \) con \( a\in A \),\( y\in\theta \). Pero luego \( y=\alpha(\theta)+m \) con \( m\in\mathbb{Z} \) entonces \( x=a+\alpha(\theta)+m \in [0,1) \) por lo que \( a+m\in A\cap [-\alpha(\theta),1-\alpha(\theta))  \) pues \( m \) es entero entonces \( a+m\in A \).
Finalmente \( x=(a+m)+\alpha(\theta) \) y por lo anterior concluimos \( x\in A\cap [-\alpha(\theta),1-\alpha(\theta)){\color{red}{+\alpha (\theta )}} \)

¿Es correcto?

Te faltaba lo marcado en rojo, todo lo demás correcto.


Por si te estás preguntando de dónde saqué la identidad \( A\cap [-\alpha (\theta ),1-\alpha (\theta ))+\alpha (\theta )=(A+\theta )\cap [0,1) \), fue con algo de imaginación que luego traduje a ese formalismo. Es decir, se puede imaginar a \( A \) como un patrón sobre una recta que se repite cada cierta distancia, y luego imaginar a \( A+\theta  \) como si desplazásemos tal patrón sobre la recta una cierta distancia hacia la derecha (o hacia la izquierda). A partir de ahí, dándole algo de vueltas, llegué a la mencionada identidad. Te lo digo por si te sirve de algo.

Aunque seguramente se pudiese haber resuelto esa parte del ejercicio sin necesidad de imaginar nada, aplicando tan sólo las definiciones, pero quizá hubiese tardado más, no lo sé.

[franma]

Hola,

En primer lugar nota que el intervalo \( E\cap [x-r,x+r] \) ha de entenderse dentro de \( S^1 \), es decir estrictamente el numerador se refiere a:
\( m_{S_1}(E\cap \pi([x-r,x+r]) \)

De acuerdo.

Observa además que (a) cuando una calcula \( m_{S^1}(A) \) puede considerar los reprentantes de \( A \) en cualquier intervalo de longitud \( 1 \).

No obstante en un abuso de notación mantendré \( m(E\cap[x-r,x+r]) \)

Hasta aquí, todo bien.

Si \( r\geq 1/2 \), entonces dado que \( diametro(x-r,x+r)>1 \), \( E\cap [x-r,x+r]=E \) y \( h_r(x)=\dfrac{m(E)}{2r} \) constante.

Perfecto.

Si \( r<1/2 \) tienes \( x<y \) con \( |x-y|<\delta<\min(1-2r,2r) \) se cumple que:

\( [x-r,x+r]=[x-r,y-r)\sqcup [y-r,x+r] \)

\( [y-r,{\color{red}{x+y}}]=[y-r,x+r]\sqcup (x+r,y+r] \)

Para la primer igualdad: \( [x-r,x+r]=[x-r,y-r)\sqcup [y-r,x+r] \)
* \( [x-r,y-r) \) esta claro pues \( x<y \).
* \( [y-r,x+r] \) para que funcione debe ser \( y-x<2r \) lo cual estamos pidiendo.

Para la segunda igualdad (creo que esta mal lo rojo): \( [y-r,y+r]=[y-r,x+r]\sqcup (x+r,y+r] \)
* \( [y-r,x+r] \) para que funcione debe ser \( y-x<2r \) lo cual estamos pidiendo.
* \( (x+r,y+r] \) esta claro pues \( x<y \).

No veo donde aprovechamos que había un \( 1-2r \) en el mínimo.

Entonces:

\( m(E\cap [x-r,x+r])=m(E\cap [x-r,y-r))+m(E\cap  [y-r,x+r]) \)
\( m(E\cap [y-r,y+r])=m(E\cap [y-r,x+r])+m(E\cap {\color{red}{[x-r,y-r)}}) \)

En rojo debería ser \( (x+r,y+r] \). Hasta aquí todo bien.

La diferencia:

\( m(E\cap [x-r,x+r])-m(E\cap [x-r,x+r])=m(E\cap [x-r,y-r))+m(E\cap [x-r,y-r))\leq 2|x-y| \)

y ya lo tienes.

Aquí hay varios typos también, creo que seria:
\( m(E\cap [x-r,x+r])-m(E\cap [y-r,y+r])=m(E\cap [x-r,y-r))+m(E\cap [x+r,y+r))\leq 2|x-y| \)

Me quedan tres dudas solamente:
¿Para el caso \( y<x \) simplemente cambiamos los roles de \( x \) e \( y \)?
¿Cómo justificamos \( m(E\cap [x-r,y-r))<|x-y| \)? No lo estoy viendo.
¿Me pase por alto alguna sutileza con el \( \delta \)? ¿Por que el \( 1-2r \)?

Saludos,
Franco.

[franma]

Hola,

Ahora respondiendo a Masacroso.
Ya me ha quedado todo claro con la identidad de la integral y como resolver ese apartado del ejercicio con lo que me dijiste.

Muchas gracias.

Saludos,
Franco.

[Luis Fuentes]

Hola

 Antes de nada siento las erratas, que crean algo de confusión. Estoy especialmente torpe últimamente... espero que sea pasajero. Creo que algo espeso también explicando.

No veo donde aprovechamos que había un \( 1-2r \) en el mínimo.

La cosa es que para que el argumento funcione necesitamos que estos tres trozo sean disjuntos.

\( [x-r,y-r)\sqcup [y-r,x+r]\sqcup (x+r,y+r] \)

Lo son trivialmente en \( \Bbb R \), pero podrían solaparse en el cociente \( S^1=\Bbb R/\Bbb Z \). Ten en cuenta que dos puntos que difieren en un natural (en particular en una unidad) son el mismo en la circunferencia. Por eso exijo que la distancia entre los extremos de esos tres trozos \( y+r-(x-r) \) sea menor que \( 1 \).

\( y+r-(x-r)<1\quad \Leftrightarrow{}\quad y-x<1-2r \)

¿Para el caso \( y<x \) simplemente cambiamos los roles de \( x \) e \( y \)?

Si.

¿Cómo justificamos \( m(E\cap [x-r,y-r))<|x-y| \)? No lo estoy viendo.

Por que \( E\cap [x-r,y-r]\subset [x-r,y-r] \) y entonces \( m(E\cap [x-r,y-r))\leq m([x-r,y-r])=(y-r)-(x-r)=y-x=|x-y| \)

En realidad es un menor o igual pero no tiene trascendencia.

¿Me pase por alto alguna sutileza con el \( \delta \)? ¿Por que el \( 1-2r \)?

Eso lo comenté al principio.

Saludos.

[franma]

Hola Luis  ,

Antes de nada siento las erratas, que crean algo de confusión. Estoy especialmente torpe últimamente... espero que sea pasajero. Creo que algo espeso también explicando.

No pasa nada Luis, no afectan demasiado el entendimiento. Le pasa a todos

Sin embargo creo que todavía hay unas erratas donde corregiste, específicamente aquí:

\( m(E\cap [x-r,x+r])=m(E\cap [x-r,y-r))+m(E\cap  [y-r,x+r]) \)
\( m(E\cap [y-r,y+r])=m(E\cap [y-r,x+r])+m(E\cap \color{blue}(x-r,y-r]\color{black}) \)

La diferencia:

\( m(E\cap [x-r,x+r])-m(E\cap \color{red}[y-r,y+r]\color{black})={\color{blue}{ m(E\cap [y-r,x+r))+m(E\cap (x-r,y-r])  }}\leq 2|x-y| \)
CORREGIDO

Te las marque en azul.

No veo donde aprovechamos que había un \( 1-2r \) en el mínimo.

La cosa es que para que el argumento funcione necesitamos que estos tres trozo sean disjuntos.

\( [x-r,y-r)\sqcup [y-r,x+r]\sqcup (x+r,y+r] \)

No veo en que parte del argumento utilizaste esta condición, ¿me lo podrías indicar?.

¿Cómo justificamos \( m(E\cap [x-r,y-r))<|x-y| \)? No lo estoy viendo.

Por que \( E\cap [x-r,y-r]\subset [x-r,y-r] \) y entonces \( m(E\cap [x-r,y-r))\leq m([x-r,y-r])=(y-r)-(x-r)=y-x=|x-y| \)

En realidad es un menor o igual pero no tiene trascendencia.

Aquí es donde entra mi duda, porque en realidad todas esas medidas son en realidad \( m_{S¹} \) ¿no?. Entonces, ¿como sabemos que \( m_{S¹}([x-r,y-r])y-x \)?

Muchas gracias por toda la ayuda,
Saludos,
Franco.

[Luis Fuentes]

Hola

No veo en que parte del argumento utilizaste esta condición, ¿me lo podrías indicar?.

Cuando uso que la medida de la unión es IGUAL a la suma de las medidas. Para ello es necesario que la unión sea disjunta.

No obstante probablemente es cierto que el hecho de que se intersequen de los tres trozos, los dos del extremo no influye, porque separamos el del medio con uno u luego con otro, pero no usamos los tres a la vez. No obstante puse esa condición por curarme en salud.

Aquí es donde entra mi duda, porque en realidad todas esas medidas son en realidad \( m_{S^1} \) ¿no?. Entonces, ¿cómo sabemos que \( m_{S^1}([x-r,y-r])y-x \)?

En este punto no se si tienes claro como funciona la medida que hemos definido en \( S^1 \). La medida de un conjunto de \( S^1 \) es la misma que la de ese conjunto medido sobre la recta real. Es decir en realidad podemos pensar que estamos trabajando en \( [0,1] \) y ahí la medida es la de Lebesgue la usual; lo que pasa es que topológicamente "pegamos" el \( 0 \) con el \( 1 \) para cerrar el intervalo, pero eso no influye en la medida.

La moraleja o el resumen es que si \( A\subset R \) es un conjunto de diámetro \( \leq 1 \) entonces \( m_{S^1}(\pi(A))=m(A) \).

También el hecho de que la función \( h(x)=\dfrac{m(E\cap [x-r,x+r])}{2r} \) sea continuo debería de ser claro intuitivamente: esa función (olvidándome de el denominador que es constante) lleva cada punto \( x \) en la medida del trozo de un conjunto \( E \) metido dentro de un intervalo de longitud \( 2r \) y centrado en \( x \). Si movemos un poco el centro \( x \) (pongamos a la derecha) , ¿cómo varía esa medida?. Pues incluiremos un pequeño trozo nuevo de \( E \) de tamaño no superior a lo que ha aumentado \( x \) y por la izquierda perderemos un trozo de \( E \) de tamaño acotado por la misma cota. El resto es el mismo. De ahí la continuidad.

Saludos.

[franma]

Hola Luis ,

No veo en que parte del argumento utilizaste esta condición, ¿me lo podrías indicar?.

Cuando uso que la medida de la unión es IGUAL a la suma de las medidas. Para ello es necesario que la unión sea disjunta.

No obstante probablemente es cierto que el hecho de que se intersequen de los tres trozos, los dos del extremo no influye, porque separamos el del medio con uno u luego con otro, pero no usamos los tres a la vez. No obstante puse esa condición por curarme en salud.

Pues yo creo que no se usa, solo utilizamos que \( [x-r,x+r]=[x-r,y-r) \sqcup [y-r,x+r] \) y aquí es claro que las puntas no se cortan porque el tiene diámetro \( 2r<1 \) si \( r<1/2 \) y análogamente para el intervalo centrado en \( y \).
Pero bueno, no tiene demasiada importancia, mejor prevenir como dices tu.

(...)
En este punto no se si tienes claro como funciona la medida que hemos definido en \( S^1 \). La medida de un conjunto de \( S^1 \) es la misma que la de ese conjunto medido sobre la recta real. Es decir en realidad podemos pensar que estamos trabajando en \( [0,1] \) y ahí la medida es la de Lebesgue la usual; lo que pasa es que topológicamente "pegamos" el \( 0 \) con el \( 1 \) para cerrar el intervalo, pero eso no influye en la medida.

La moraleja o el resumen es que si \( A\subset R \) es un conjunto de diámetro \( \leq 1 \) entonces \( m_{S^1}(\pi(A))=m(A) \).

Ayer estaba bastante distraído, no recordaba que \( r<1/2 \) luego \( |x-y|<2r<1 \). Todo aclarado.


Para la parte \( (3) \) hice lo siguiente:

Sea \( x\in S^1 \), entonces:

\( h_r(f(x))=\dfrac{m(E\cap [f(x)-r,f(x)+r])}{2r}\geq \dfrac{m(f(E)\cap [f(x)-r,f(x)+r])}{2r}=\dfrac{m(f(E\cap [x-r,x+r]))}{2r}=\dfrac{m(E\cap [x-r,x+r])}{2r}=h_r(x) \)

donde en el segundo paso use que \( f(E)\subset E \) y en el cuarto paso utilice que \( f \) preserva la medida.

Es decir, tenemos que \( h_r(f(x))\geq h_r(x) \) para todo \( x\in S^1 \). Inductivamente tenemos que \( h_r(f^n(x))\geq h_r(x) \) para todo \( n\in\mathbb{N},x\in S^1 \)

Ahora, dados dos puntos \( x,y\in S^1 \). Encontramos (pues toda orbita es densa) sucesiones \( \{n_k\}_{k\geq 1} ,  \{n_j\}_{j\geq 1} \) de naturales tales que:

\( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty} f^{n_k}(x)=y \)

\( \displaystyle\lim_{j \to{+}\infty} f^{n_j}(y)=x \)

Juntando esto y lo anterior tenemos:

\( h_r(f^{n_k}(x))\geq h_r(x) \)

\( h_r(f^{n_j}(y))\geq h_r(y) \)

Tomando limite y utilizando la parte anterior (\( h_r \) continua):

\( h_r(y)\geq h_r(x) \)

\( h_r(x)\geq h_r(y) \)

Como \( x \) e \( y \) eran arbitrarios \( h_r \) es constante como se queria probar.

¿Esta correcto?

No me esta saliendo la parte (4) , ¿alguna idea?

Saludos,
Franco.

[Masacroso]

Me parece correcto esto último franma. Ahora la última parte se puede demostrar si consigues demostrar que el valor de \( h_r \) no depende de \( r \), y entonces aplicando el teorema de diferenciación de Lebesgue se llega a la conclusión de que \( h_r(x)\in\{0,1\} \) para casi todo \( x \), ésa es una idea que se me ocurre pero no la he desarrollado más así que no sé si es factible demostrarlo así.

[franma]

Hola Masacroso,

Me parece correcto esto último franma. Ahora la última parte se puede demostrar si consigues demostrar que el valor de \( h_r \) no depende de \( r \), y entonces aplicando el teorema de diferenciación de Lebesgue se llega a la conclusión de que \( h_r\in\{0,1\} \) para todo \( r \), ésa es una idea que se me ocurre pero no la he desarrollado más así que no sé si es factible demostrarlo así.

Gracias por revisarlo, no se si se pueda demostrar lo que dices. Para valores muy grandes de \( r \) creo que se tiene \( h_r(x)=m(E)/2r \), ¿no?

Le he estado dando bastantes vueltas, hasta aquí lo que tengo:

Sea \( E \) medible en \( S^1 \) y consideramos \( E^c \) su complemento, ahora sea consideramos las funciones \( h_r^E \) y \( h_r^{E^c} \), se cumple que:

\( h_r^E(x)+h_r^{E^c}(x)=\dfrac{m(E\cap [x-r,x+r])}{2r}+\dfrac{m(E^c\cap [x-r,x+r])}{2r}=\dfrac{m([x-r,x+r])}{2r} \)

Luego si \( r<1/2 \) se tiene que \( h_r^E(x)+h_r^{E^c}(x)=1 \). Ahora, supongamos que \( m(E)>0 \) y aquí mi idea era usar el teorema de densidad de Lebesgue pero creo que no funciona mi idea (era llegar a una contradicción si ambas funciones daban 1).

Seguiré pensando, cualquier idea es bienvenida (también estuve revisando la parte (5) y no me he logrado avanzar mucho).

Saludos,
Franco.

[Masacroso]

La (4) se sigue de la idea de mi mensaje anterior, demostrando que \( r\mapsto h_r(x) \) es continua para todo \( x \) y que \( h_p=h_q \) para todo \( p,q\in \mathbb{Q}\cap (0,1] \). La demostración es partiendo el intervalo \( (0,1] \) en intervalos de longitud \( 1/n \).

Spoiler

Tomamos \( n \) intervalos disjuntos \( I_{1,1/n},\ldots ,I_{n,1/n} \) de longitud \( 1/n \), entonces

\( \displaystyle{
m(E)=\frac{\sum_{j=1}^n m(E\cap I_{j,1/n})}{n\cdot 1/n}=\frac1{n}\sum_{j=1}^n h_{1/n}=h_{1/n}\tag1
} \)

donde he utilizado \( h_{1/n} \) en vez de \( h_{1/n}(x) \) para determinados \( x \) ya que es una función constante. De (1) se sigue que \( h_{1/n}=m(E) \) para todo \( n\in \mathbb{N}\setminus \{0\} \), luego un número racional en \( (0,1] \) es de la forma \( m/n \) con \( m\leqslant n \), de donde se sigue utilizando un argumento como el de (1) que \( h_r=m(E) \) para todo \( r\in\mathbb{Q}\cap (0,1] \). Ahora, de la continuidad de \( r\mapsto h_r(x) \) para todo \( x \) (continuidad que se sigue de la continuidad de \( r\mapsto m(E\cap [x-r,x+r]) \), la cual a su vez se sigue por ejemplo del teorema de convergencia monótona), tenemos que \( h_r=m(E) \) para todo \( r\in(0,1] \).

Finalmente del teorema de diferenciación de Lebesgue tenemos que \( \lim_{r\to 0^+}h_r(x)=\mathbf{1}_{E}(x) \) casi en todas partes, lo que implica que \( m(E)\in\{0,1\} \).

Añadido: en verdad ahora que lo pienso es suficiente con aplicar el teorema de diferenciación de Lebesgue a la sucesión \( \{h_{1/n}\}_{n\in\mathbb{N}} \), por lo que nos podemos ahorrar gran parte de lo anterior, es decir, no hacía falta mostrar que \( r\mapsto h_r \) es continua ni que \( h_r=m(E) \) para \( r\in \mathbb{Q}\cap (0,1] \).

[cerrar]

Supongo que el (5) se sigue del (4), pero de momento no he pensado nada.