Hola,
Masacroso, leyendo tu nuevo mensaje me surge una duda del anterior, pues lo habia entendido mal:
2) Si \( g:\mathbb{R}\to \mathbb{R} \) es una función medible no-negativa y periódica de periodo uno entonces \( \int_{[0,1)}g\,d m=\int_{[r ,1+r )}g\,d m \) para todo \( r\in \mathbb{R} \).
También es claro, pues:
\( \displaystyle\int_{[r ,1+r )}g\,d m = \int_{\mathbb{R}}g(x)\chi_{[r ,1+r )}(x)\,d m(x)=\int_{\mathbb{R}}g(x-r)\chi_{[r ,1+r )}(x-r)\,d m(x)=\int_{\mathbb{R}}g(x)\chi_{[0 ,1 )}(x)\,d m(x) \)
donde en el tercer paso use la invarianza por traslación de la integral y en el cuarto que \( g \) es \( r \) periódica.
Ahora no veo tan claro como probar la propiedad de la integral.
Por otro lado, para probar:
\( A\cap [-\alpha (\theta ),1-\alpha (\theta )){\color{red}{+\alpha (\theta )}}=(A+\theta )\cap [0,1) \) para todo \( A\subset \mathbb{R}/\mathbb{Z} \) medible, donde hay que observar que \( \theta \) es aquí un conjunto (un elemento de \( \mathbb{R}/\mathbb{Z} \)).
Tengo lo siguiente:
Si \( x\in A\cap [-\alpha(\theta),1-\alpha(\theta)) \) entonces \( x+\alpha(\theta)\in[0,1) \) y como \( x\in A \) y \( \alpha(\theta)\in\theta \) tenemos que \( x+\alpha(\theta)\in (A+\theta)\cap[0,1) \)
Para la otra inclusion:
Si \( x \in (A+\theta)\cap[0,1) \) entonces \( x=a+y \) con \( a\in A \),\( y\in\theta \). Pero luego \( y=\alpha(\theta)+m \) con \( m\in\mathbb{Z} \) entonces \( x=a+\alpha(\theta)+m \in [0,1) \) por lo que \( a+m\in A\cap [-\alpha(\theta),1-\alpha(\theta)) \) pues \( m \) es entero entonces \( a+m\in A \).
Finalmente \( x=(a+m)+\alpha(\theta) \) y por lo anterior concluimos \( x\in A\cap [-\alpha(\theta),1-\alpha(\theta)) \)
¿Es correcto?
Ahora respondo al mensaje de
Luis:
La órbita de un \( x \) es:
\( A'=\{x+n\theta\quad \mod\quad \Bbb Z|n\in \Bbb N\} \)
Primero comprueba que la densidad de \( A' \) en \( S^1 \) equivale a la densidad de \( A=\pi^{-1}(A') \) en \( \Bbb R \), donde:
\( A=\{x+n\theta+m|n\in \Bbb N,\,m\in \Bbb Z\} \)
Esto "intuitivamente" lo veo, si \( A' \) es denso en \( \mathbb{R}/\mathbb{Z} \) entonces dado un abierto de \( \mathbb{R} \) lo movemos al \( [0,1) \) (la traslación es continua) ahí encontramos un punto del denso en ese abierto y lo volvemos a mover a donde estaba lo que nos da un punto de \( A \) en el abierto.
Ahora si \( A \) es denso en \( \mathbb{R} \), dado un abierto de \( \mathbb{R}/\mathbb{Z} \) lo puedo ver como un intervalo \( (a,b)\subset [0,1] \) o uno de la forma \( [0,a)\cup (b,1] \). El primer caso es un abierto común de \( \mathbb{R} \) luego funciona, en el segundo podemos quitar las puntas y encontrar un elemento ahí.
No se que te parece lo que escribí, si es suficientemente detallado y si es la idea correcta.
Ahora el conjunto de puntos \( \{n\theta-[n\theta]|n\in \Bbb N\}\in [0,1] \) es una sucesión de infinitos puntos distintos (si hubiese dos iguales, \( \theta \) sería racional) y por tanto tiene un punto de acumulación y así una sucesión de Cauchy. Eso significa que para todo \( \epsilon>0 \) existen \( n_1,n_2\in \Bbb N \) tales que:
\( 0<(n_1-n_2)\theta-[n_1\theta]+[n_2\theta]=n\theta+m<\epsilon \) con \( n\in \Bbb N,\,m\in \Bbb Z \) (*)
Entonces dado cualquier intervalo abierto \( (a,b) \) con \( a\geq x \) con tomando \( \epsilon<b-a \), existe un \( k \) tal que \( x+k(n\theta+m)\in (a,b)\cap B \) y tenemos la densidad.
Si tienes \( (a,b) \) con \( a<x \) puede hacerse el mismo argumento pero tomando en (*) el \( n\theta+m\in (-\epsilon,0) \).
Más allá de los detalles la idea es sencilla: (*) nos permite escoger un elemento de \( z=n\theta+m \) tan pequeño como queramos. Los elementos \( x+ka \) están en la órbita \( A \) y dado que "avanzamos" en longitudes "\( z \)" tan pequeñas como queramos cortamos a cualquier posible intervalo.
¿Quién es \( x \) y \( B \)?
Por cierto, tenias algunos errores en el Latex que he corregido cuando te cite.
Saludos,
Franco.
