[Albersan]

Hola, qué tal?

Pues estoy algo confundido al emplear la fórmula del Residuo en algunos ejercicios. A ver si me pueden ayudar por favor.

Sea \( f(z) \) una función que tiene un polo de orden \( n \) en \( z_0 \).

Entonces, para calcular el residuo en \( z_0 \), se dispone de la siguiente fórmula: \( Res(f,z_0)=b_1=\displaystyle\frac{1}{(n-1)!}\displaystyle\lim_{z \to{z_0}}{\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}}[(z-z_0)^nf(z)] \)       (*1*), \( f(z)=[\displaystyle\frac{b_n}{(z-z_0)^n}+\displaystyle\frac{b_{n-1}}{(z-z_0)^{n-1}}+......+\displaystyle\frac{b_2}{(z-z_0)^2}+\displaystyle\frac{b_1}{(z-z_0)}+\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}{a_k(z-z_0)^k}] \).

Sea \( g(z)=(z-z_0)^nf(z) \),      \( g(z)=[b_n+b_{n-1}(z-z_0)+.....+b_2(z-z_0)^{n-2}+b_1(z-z_0)^{n-1}+\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}{a_k(z-z_0)^{n+k}}] \)

Como \( g(z) \) tiene desarrollo de Taylor es analítica, y por el Teorema de Taylor el residuo se puede encontrar por \( b_1=\displaystyle\frac{g^{(n-1)}(z_0)}{(n-1)!} \)        (*2*)

Pues no entiendo muy bien por qué \( Res(f,z_0)=b_1 \), no se puede obtener en (*1*) reemplazando directamente \( z_0 \) en la fórmula y sin embargo en (*2*) si se permite hacer.




Muchas Gracias

[Masacroso]

Pues no entiendo muy bien por qué \( Res(f,z_0)=b_1 \), no se puede obtener en (*1*) reemplazando directamente \( z_0 \) en la fórmula y sin embargo en (*2*) si se permite hacer.

¿A qué te refieres con "reemplazar directamente \( z_0 \) en (*1*)"? Observa que (*1*) es un límite, ¿quieres decir quitar el límite y sustituir por \( z_0 \)? Es porque es posible, después de tomar las derivadas de \( (z-z_0)f(z) \) que tal función expresión tenga una singularidad evitable en \( z_0 \), entonces no puedes sustituir, pero el límite sí te da el valor del residuo.

Añado: al escribir \( g(z) \) usando una serie de Taylor si existiese una singularidad evitable ésta desaparece, es decir, en la serie de Taylor de \( g(z) \) sí puedes sustituir por \( z_0 \) pero en la expresión original probablemente no. Un ejemplo: toma la expresión \( \frac{\operatorname{sen}z}{z} \), tal expresión define una función entera por extensión continua al cero pero la expresión tiene una singularidad evitable en el cero por lo que para hallar el valor de la extensión analítica correspondiente hay que tomar límites.

[Albersan]

Gracias Masacroso,

en realidad voy a poner el siguiente ejemplo,

\( f(z)=\displaystyle\frac{1}{(z-1)^2(z-3)} \).  Pues  \( Res(f(z),1)=\displaystyle\frac{1}{1!}\displaystyle\lim_{z \to{1}}{\frac{d}{dz}(z-1)^2f(z)}=\displaystyle\frac{1}{1!}\displaystyle\lim_{z \to{1}}{\frac{d}{dz}(z-1)^2\displaystyle\frac{1}{(z-1)^2(z-3)}}=\displaystyle\frac{1}{1!}\displaystyle\lim_{z \to{1}}{\frac{d}{dz}\displaystyle\frac{1}{(z-3)}}=\displaystyle\lim_{z \to{1}}{\displaystyle\frac{-1}{(z-3)^2}}=-\displaystyle\frac{1}{4} \).

Antes de tomar límite debo derivar con respecto a \( z \) la expresión. ¿Por qué es posible cancelar los factores \( (z-1)^2 \) del numerador y denominador?. Mi forma de verlo es que \( z \) nunca toma el valor \( 1 \) ya que \( f \) tiene un polo en dicho punto, por lo tanto \( (z-1)\neq{0} \), y de ahí que los \( (z-1)^2 \) se eliminen.



Muchas Gracias.

[Masacroso]

Antes de tomar límite debo derivar con respecto a \( z \) la expresión. ¿Por qué es posible cancelar los factores \( (z-1)^2 \) del numerador y denominador?. Mi forma de verlo es que \( z \) nunca toma el valor \( 1 \) ya que \( f \) tiene un polo en dicho punto, por lo tanto \( (z-1)\neq{0} \), y de ahí que los \( (z-1)^2 \) se eliminen.

Al margen de que se puedan cancelar factores, cosa que pasa en algunos ejemplos sencillos como el que pones, es posible que tengas expresiones más complicadas después de multiplicar por \( (z-z_0)^n \) y derivar \( n-1 \) veces teniendo una singularidad evitable en la expresión final por lo cual hay que tomar límites en vez de sustituir en esos casos. Un ejemplo sencillo (repitiendo un poco el ejemplo de mi mensaje anterior) sería para \( f(z):=\frac1{\operatorname{sen}z} \), entonces para hallar el residuo de \( f \) en el cero no queda más remedio que tomar el límite porque en la expresión \( \frac{z}{\operatorname{sen}z} \) no se puede cancelar nada, y además tampoco se conoce bien la expresión de la serie de Maclaurin de tal expresión.