[AlejandroCB]

Hola a todos, tengo un problema de cálculo 1 de ingeniería.

El hecho es que estoy un poco liado intentando ver si soy capaz de buscar la continuidad en dos campos escalares.

\( {\frac{xy+1}{x^2-y}} \)

En este caso no sé cómo definir su continuidad, y tampoco sé cómo extenderla. El motivo es que no está definida en toda una parábola (donde el denominador se hace 0) y obviamente no puedo ir punto a punto diciendo en la "función a trozos" que en tal punto equivale a (a, b) = k. ¿Simplemente lo indico como una discontinuidad esencial?

\( \frac{x^3}{\sqrt{x^2-y^2}} \)

Y en este me falta saber cómo demostrar que:

\( \lim_{ (x,y) \to \ (0,0)}\frac{x^3}{\sqrt{x^2-y^2}} = 0 \)

Porque graficándolo en WolframAlpha he visto que existe (y las trayectorias básicas y otras tantas me dan siempre 0). Lo he intentado por la definición de límite + cambio de variable y comparación y no se me ocurre cómo hacerlo.

Muchas gracias de antemano.

[Fernando Revilla]

\( {\dfrac{xy+1}{x^2-y}} \) En este caso no sé cómo definir su continuidad, y tampoco sé cómo extenderla. El motivo es que no está definida en toda una parábola (donde el denominador se hace 0)

Para \( (x_0,y_0) \) cumpliendo \( y_0\ne x_0^2 \) la función \( f \) dada es claramente continua en \( (x_0,y_0) \). Para \( y_0=x_0^2 \) hay que distingir dos casos.

• \( x_0y_0+1\ne 0 \). En este caso, \( \lim_{(x,y) \to (x_0.y_0)}f(x,y)=\infty \) y la función no se puede extender por continuidad en \( (x_0,y_0) \).
  
• \( x_0y_0+1= 0 \). Esto junto con la condición \( y_0=x_0^2 \) ocurre exclusivamente en el punto \( (-1,1) \), basta observar las gráficas de la parábola \( y=x^2 \) y la hipérbola \( xy+1=0 \). En este caso tenemos,
          \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to (-1,1)}\displaystyle\frac{xy+1}{x^2-y}=\left\{{\displaystyle\frac{0}{0}}\right\}. \)
  Si existe éste límite y es finito, \( f \) se podrá extender por continuidad en \( (-1,1) \). Ahora bien, haciendo el cambio \( u=x+1 \), \( v=y-1 \) y usando límites según las direcciones \( v=mu \), descubrirás que el límite no existe.
  

En consecuencia, \( f \) no se puede extender por continuidad en ningún punto de la parábola \( y=x^2 \).

[AlejandroCB]

\( {\dfrac{xy+1}{x^2-y}} \) En este caso no sé cómo definir su continuidad, y tampoco sé cómo extenderla. El motivo es que no está definida en toda una parábola (donde el denominador se hace 0)

Para \( (x_0,y_0) \) cumpliendo \( y_0\ne x_0^2 \) la función \( f \) dada es claramente continua en \( (x_0,y_0) \). Para \( y_0=x_0^2 \) hay que distingir dos casos.

• \( x_0y_0+1\ne 0 \). En este caso, \( \lim_{(x,y) \to (x_0.y_0)}f(x,y)=\infty \) y la función no se puede extender por continuidad en \( (x_0,y_0) \).
  
• \( x_0y_0+1= 0 \). Esto junto con la condición \( y_0=x_0^2 \) ocurre exclusivamente en el punto \( (-1,1) \), basta observar las gráficas de la parábola \( y=x^2 \) y la hipérbola \( xy+1=0 \). En este caso tenemos,
          \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to (-1,1)}\displaystyle\frac{xy+1}{x^2-y}=\left\{{\displaystyle\frac{0}{0}}\right\}. \)
  Si existe éste límite y es finito, \( f \) se podrá extender por continuidad en \( (-1,1) \). Ahora bien, haciendo el cambio \( u=x+1 \), \( v=y-1 \) y usando límites según las direcciones \( v=mu \), descubrirás que el límite no existe.
  

En consecuencia, \( f \) no se puede extender por continuidad en ningún punto de la parábola \( y=x^2 \).

Muchísimas gracias! Me ha sido de gran ayuda. Era uno de los pocos que se me resistían en la relación, imagino que falta de práctica.

[Ignacio Larrosa]

\( \frac{x^3}{\sqrt{x^2-y^2}} \)

Y en este me falta saber cómo demostrar que:

\( \lim_{ (x,y) \to \ (0,0)}\frac{x^3}{\sqrt{x^2-y^2}} = 0 \)

Porque graficándolo en WolframAlpha he visto que existe (y las trayectorias básicas y otras tantas me dan siempre 0). Lo he intentado por la definición de límite + cambio de variable y comparación y no se me ocurre cómo hacerlo.

No has debido mirarlo bien, porque el límite no existe. Para verlo, puedes utilizar las curvas \( y = x - kx^5, k > 0 \):

\( \displaystyle\lim_{x \to{}0}{\displaystyle\frac{x^3}{\sqrt[ ]{x^2-(x-kx^5)^2}}}=\displaystyle\lim_{x \to{}0}{\displaystyle\frac{x^3}{\sqrt[ ]{2kx^6-k^2x^{10}}}}=\displaystyle\lim_{x \to{}0}{\displaystyle\frac{x^3}{\left |{x^3}\right |\sqrt[ ]{2k-k^2x^4}}}=\displaystyle\frac{\pm{1}}{\sqrt[ ]{2k}} \)

Por tanto, la función no puede definirse con continuidad en \( (x, y) = (0, 0) \). Por supuesto en ningún otro punto de las rectas \( y = \pm{}x \), donde la función no está definida y el límite en cualquier dirección distinta de las de las propias rectas es \( \infty \).

Saludos,

P.S.: Por supuesto para \( \left |{y}\right | > \left |{x}\right | \) la función no está definidad en los reales.

[AlejandroCB]

Gracias Ignacio. Supongo que tendré que agudizar la vista cuando mire los plots, la verdad es que WolframAlpha no los hace muy visuales.

[Ignacio Larrosa]

Gracias Ignacio. Supongo que tendré que agudizar la vista cuando mire los plots, la verdad es que WolframAlpha no los hace muy visuales.

A ver si aquí se aprecia mejor:



Después de cambiar el valor de \( k \), hacer clic en la vista 3D y pulsar [Ctrl-F] para borrar los rastros.

Saludos,

[AlejandroCB]

Gracias Ignacio. Supongo que tendré que agudizar la vista cuando mire los plots, la verdad es que WolframAlpha no los hace muy visuales.

A ver si aquí se aprecia mejor:

:Edito para no sobrecargar la página: - AlejandroCB.


Después de cambiar el valor de \( k \), hacer clic en la vista 3D y pulsar [Ctrl-F] para borrar los rastros.

Saludos,

¡Qué interesante! la verdad es que me gustaría aprender a usar mejor Geogebra, pero nunca he encontrado motivación y "tiempo" para ello, aunque si me pongo supongo que será con Python y MatLab.

Mis dudas ya están resueltas, muchas gracias a ambos ^^.

[Ignacio Larrosa]

¡Qué interesante! la verdad es que me gustaría aprender a usar mejor Geogebra, pero nunca he encontrado motivación y "tiempo" para ello, aunque si me pongo supongo que será con Python y MatLab.

Pues la verdad creo que GeoGebra tiene una curva de aprendizaje con mucha pendiente al principio, se aprende mucho rápidamente. Después quizás algo menos. Por ejemplo, elimine del applet anterior los rastros del punto \( B \) porque no encuentro forma de eliminarlos al variar el valor de \( k \) ...

Saludos,

[AlejandroCB]

Hola.

Acabo de reintentar el límite (b) arriba mencionado y me he dado cuenta de que escribí mal el denominador.

El límite que quiero hallar es:

\( \lim_{ (x,y) \to \ (0,0)}\frac{x^3}{\sqrt{x^2+y^2}} = 0 \)

Lo estoy intentando por la definición formal de límite, y me quedo por el principio  , no estoy muy acostumbrado a usarla! xD

\( \sqrt{x^2+y^2} < \delta \rightarrow{} \exists{\epsilon} \) tal que: \( \frac{x^3}{\sqrt{x^2+y^2}} < \epsilon \)

[Ignacio Larrosa]

Hola.

Acabo de reintentar el límite (b) arriba mencionado y me he dado cuenta de que escribí mal el denominador.

El límite que quiero hallar es:

\( \lim_{ (x,y) \to \ (0,0)}\frac{x^3}{\sqrt{x^2+y^2}} = 0 \)

Lo estoy intentando por la definición formal de límite, y me quedo por el principio  , no estoy muy acostumbrado a usarla! xD

\( \sqrt{x^2+y^2} < \delta \rightarrow{} \exists{\epsilon} \) tal que: \( \frac{x^3}{\sqrt{x^2+y^2}} < \epsilon \)

El límite en polares es instantáneo:

\( \displaystyle\lim_{r \to{}0}{\displaystyle\dfrac{r^3 \cos^3\theta}{\sqrt[ ]{r^2\sen^2\theta + r^2\cos^2\theta}}}= \displaystyle\lim_{r \to{}0}{r^2\cos^3\theta} = 0 \)

De todas formas, si quieres hacerlo por la definición de límite, recuerda que para todo \( \epsilon > 0 \), debes encontrar el \( \delta \) correspondiente, no al revés.

Saludos,