[alesan000]

necesito algunos ejemplos de funciones cuando son derivable; pero no son diferenciables.
lo que entiendo que al ser diferenciables deben existit las derivada parciales; pero no me doy cuenta cuando una funcion f(xy) o z(xy) o f(xyz) las derivadas parciales no existen, cuando no exiten y me podrian dar ejemplos.

por favor

muchas gracias

[Jabato]

De una forma intuitiva puedes afirmar que una función (de cualquier número de variables) es diferenciable si y solo si existe su espacio tangente (para funciones de una variable dicho espacio es la recta tangente, para funciones de dos variables es el plano tangente, etc) lo que quiere decir de una forma más precisa que dicha función puede aproximarse en el entorno del punto considerado mediante una aplicación afín. En otro caso debe considerarse que la función no es diferenciable. Esa es exactamente en esencia la definición de función diferenciable aunque la expresión matemática de dicha condición suele ser complicada y puede variar de unos textos a otros.

¿Entiendes lo que te he dicho? ¿Cual es la definición que manejas de función diferenciable?

Saludos, Jabato.

[alesan000]

De una forma intuitiva puedes afirmar que una función (de cualquier número de variables) es diferenciable si y solo si existe su espacio tangente (para funciones de una variable dicho espacio es la recta tangente, para funciones de dos variables es el plano tangente, etc) lo que quiere decir de una forma más precisa que dicha función puede aproximarse en el entorno del punto considerado mediante una aplicación afín. En otro caso debe considerarse que la función no es diferenciable. Esa es exactamente en esencia la definición de función diferenciable aunque la expresión matemática de dicha condición suele ser complicada y puede variar de unos textos a otros.

¿Entiendes lo que te he dicho? ¿Cual es la definición que manejas de función diferenciable?

Saludos, Jabato.

una de las definiciones es la existencia del plano tangente y la otra la existencia de las derivadas parciales continuas.
en el punto.es lo mismo?
la continuidad de ls drivada la analizo de igual manera que cualquier funcion?

[Luis Fuentes]

Hola

 Lo que se cumple es:

 - Si una función es diferenciable en un punto, entonces existen las derivadas parciales en ese punto.

 - Si una función tiene derivadas parciales continuas en un entorno de un punto, entonces es diferenciable en dicho punto.

 Puede ocurrir sin embargo que:

 - Una función tenga derivadas parciales en un punto, pero no sea diferenciable en dicho punto. Como ejemplo:

\(  f(x,y)=\begin{cases} x & \mbox{ si }& x,y\neq 0\\0 & \mbox{si}& x=0\textsf{ ó }y=0\end{cases} \)

 en el origen.

Saludos.

[Jabato]

Una forma para construir superficies que admiten derivadas parciales pero que no son diferenciables.

Toma en \( \mathbb R^3 \) una curva cualquiera, continua, cerrada, no plana y simétrica respecto al origen de coordenadas. Y a continuación traza el haz de rectas que pasando por el origen corte a la curva en dos puntos. Dicho haz representa siempre una superfice reglada que nunca va a ser diferenciable en el origen. Si tienes suficiente visión espacial verás fácilmente que nunca va a ser posible determinar el plano tangente a la superficie en dicho punto porque dicho plano debería ser tangente en el origen a todas las rectas del haz, pero eso es imposible porque dichas rectas aunque pasan todas por el origen no son coplanarias, no pueden serlo por propia construcción de la superficie.

Saludos, Jabato.

[Luis Fuentes]

Hola

 Parece que sigues teniendo la misma dificultad: encontar funciones derivables, pero que no sean diferenciables.

 Si por derivable te refieres a que existan las derivadas parciales, ya te he puesto un ejemplo en mi mensaje anterior. Si sigues teniendo dudas sobre él pregunta.

 Si por derivable te refieres a "otra cosa" indica exactamente a "que cosa" te refieres.

Saludos.

[alesan000]

Me parece  que la ecuación que me manda el- manco se contradice

¿es así?


¿La última la que tiene derivadas parciales y no es diferenciales?

\(  f(x,y)=\begin{cases} x & \mbox{ si }& x,y\neq 0\\0 & \mbox{si}& x=0\mbox{ \'o }y=0\end{cases} \)

[Luis Fuentes]

Hola

 ¿Qué quieres decir con que se contradice?.

 Veamos las derivadas parciales primera y segunda en el origen son:

\(  f_1(0,0)=\displaystyle\lim_{h \to{+} 0}{}\dfrac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}=\displaystyle\lim_{h \to{+} 0}{}\dfrac{0-0}{h}=0 \)

\(  f_2(0,0)=\displaystyle\lim_{h \to{+} 0}{}\dfrac{f(0,0+k)-f(0,0)}{h}=\displaystyle\lim_{h \to{+} 0}{}\dfrac{0-0}{h}=0 \)

 Sin embargo no es diferenciable en el origen; si lo fuese por tener las derivadas parciales nulas, la diferencial debería de ser nula y por tanto por definición de la misma debiera de cumplirse que:

\( \displaystyle\lim_{(x,y) \to (0,0)}{}\dfrac{f(x,y)-f(0,0)}{\|(x,y)\|}=0 \)

 Sin embargo si nos aproximamos al origen por la recta \( y=mx \) quedaría:

\( \displaystyle\lim_{x \to 0}{}\dfrac{f(x,mx)-f(0,0)}{\sqrt{1+m^2}|x|}=\displaystyle\lim_{x \to 0}{}\dfrac{f(x,mx)-f(0,0)}{\sqrt{1+m^2}|x|}=\displaystyle\lim_{x \to 0}{}\dfrac{x}{\sqrt{1+m^2}|x|}\neq 0 \)

Saludos.

[filomates]

\( f(x)=\begin{cases}{x}&\text{si}& \, x,y\neq 0\\ 0 & \text{si}& x=0\;\,\mbox{ o }\;y=0\end{cases} \)