[vanina]

1)- Un corcho flota en la superficie de un estanque y su velocidad depende de su posición según
v(x,y)=(y,-2x). Hallar la trayectoria del corcho si a tiempo t=0 esta en el punto de coodenadas (1,0).

2)-Sabiendo que la funcion y(x)=x2-x es solucion de la ecuacion diferencial
y'(x)+y(x)=x2+ax-1, hallar a y la solucion de la ecuacion que satisface y(0)=1

3)- Hallar la ecuacion de la curva en R2 que pasa por el punto (0,3) tal que su pendiente en cualquiera de sus puntos es tres veces la ordenada del punto.

[millo]

Sea \( r(t)=(x(t),y(t)) \) la posicion del corcho a tiempo \( t \). Su velocidad viene dada por \( r^{\prime}(t)=(x^{\prime}(t),y^{\prime}(t))=(y(t),-2x(t)) \) por hipotesis. Esto da lugar al sistema lineal de ecuaciones

\( x^{\prime}(t)=y(t) \)

\( y^{\prime}(t)=-2x(t) \)
 
Tenes dos maneras de reolver este sistema:
 i) A mano: despejar una incognita de alguna ecuacion y utilizar la otra y luego integrar

 ii) Empleando algebra lineal y matrices, escribiendo el sistema como

\( \displaystyle\binom{x^{\prime}}{y^{\prime}}=\left[{\begin{matrix}{0}&{1}\\{-2}&{0}\end{matrix}\right]\displaystyle\binom{x}{y} \).


2) Para hallar \( a \) no tenes mas que derivar y reemplazar en la ecuacion. Para la otr parte, podes encontrar la solucion general. Cualquier solucion de la misma esta compuesta de la solucion de la ecuacion homogenea mas una solucion particular. Esta ultima ya la tenes. Por lo tanto el unico trabajo que te queda por hacer es encontrar a solucion gral de \( y^{\prime}+y=0. \)

3) La formulacion analitica seria

\( y^{\prime}(x)=3x, \ y(0)=3 \)