Sea \( F: \Omega \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \) una función de clase \( \mathcal{C}^1 \) sobre un abierto \( \Omega \) convexo . Entonces \( F \) es localmente de Lipschitz.
Demostración:
Supongamos en primer lugar \( m=1 \).
Por el teorema del valor medio tenemos,
\( f(x) - f(y) = Df(z) (x-y) \)
para un \( z \in [x,y] \)
Entonces
\( \| f(x) - f(y)\| = \|Df(z)(x-y)\| \leq \|Df(z)\| \|(x-y)\| \)
(En \( \mathcal{L}(\Omega, \mathbb{R} \) consideramos la siguiente norma:
\( \| L \| = \sup \{L(x) \mid \| x \| = 1 \} \)
Dado \( x\in \Omega \) consideramos una bola abierta \( B(x_0, \epsilon ) \subset \Omega \).
Por ser \( \|Df( \cdot )\| \) continua por ser composición de funciones continuas (acuérdese que \( F \in \mathcal{C} \)) tenemos que existe un máximo \( L \) , \( \|Df ( x ) \| \leq L \qquad (x \in \Omega) \)
