[pables]

Hola,
Estoy intentando resolver el siguiente problema: dado el sistema $$\left\lbrace\begin{array}{c} x'=x^{2}+ysen(x) \\ y'=-1+xy+cos(y) \end{array}\right.$$ prueba que el primer cuadrante $$\left\lbrace (x,y)\in\mathbb{R}^2,x \geq 0, y \geq 0\right\rbrace$$ es invariante.

He representado el diagrama fases en la frontera del conjunto. En la recta $$\left\lbrace x=0 \right\rbrace$$ el campo vectorial va "hacia abajo" (salvo los puntos en los que $$(x',y')=(0,0)$$ que son  $$\left\lbrace x=0 \right\rbrace \cap \left\lbrace cos(y)=1 \right\rbrace$$) y en la recta $$\left\lbrace y=0 \right\rbrace$$ el campo vectorial va "hacia la derecha" (salvo en el (0,0) que es punto de equilibrio). Mi duda es si con eso puedo concluir que cualquier solución que parte del primer cuadrante permanece en él en cualquier tiempo, en tal caso quedaría probado que el primer cuadrante es invariante.

[Fernando Revilla]

Estoy intentando resolver el siguiente problema: dado el sistema $$\left\lbrace\begin{array}{c} x'=x^{2}+ysen(x) \\ y'=-1+xy+cos(y) \end{array}\right.$$ prueba que el primer cuadrante $$\left\lbrace (x,y)\in\mathbb{R}^2,x \geq 0, y \geq 0\right\rbrace$$ es invariante. He representado el diagrama fases en la frontera del conjunto. En la recta $$\left\lbrace x=0 \right\rbrace$$ el campo vectorial va "hacia abajo" (salvo los puntos en los que $$(x',y')=(0,0)$$ que son  $$\left\lbrace x=0 \right\rbrace \cap \left\lbrace cos(y)=1 \right\rbrace$$) y en la recta $$\left\lbrace y=0 \right\rbrace$$ el campo vectorial va "hacia la derecha" (salvo en el (0,0) que es punto de equilibrio).

Correcto.

Mi duda es si con eso puedo concluir que cualquier solución que parte del primer cuadrante permanece en él en cualquier tiempo, en tal caso quedaría probado que el primer cuadrante es invariante.

Puedes concluirlo. Cualquier órbita que parta del primer cuadrante, si llegara a la frontera de éste, "rebotaría" hacia tal cuadrante.

[pables]

Vale, muchas gracias por la ayuda.