[TimOver]

Holaaa!! Agradecería que me echáseis una mano con el siguiente ejercicio, aunque sea para saber que método debo seguir para resolverlo. Todavía no sé como resolver esta clase de ejercicios, así que me vendría bien un poco de ayuda

Dice lo siguiente: 


Considera las siguientes ecuaciones:

\( {y}'-(\frac{\cos x}{\sin x})y = \sin^{2}x,    \hspace{3,2cm}  0 < x < \pi   \hspace{0,5cm} (I) \)   

\( {y}''-(\frac{\cos x}{\sin x})y' +  (\frac{1}{\sin^{2}x})y= \sin(2x),   \hspace{0,4cm}\,   0 < x < \pi   \hspace{0,5cm} (II) \)

i) Justificar que cada solución de (I) es una solución de (II), y encontrar todas las soluciones de dichas ecuaciones.
ii) Encontrar explícitamente todas las soluciones de (II) cumpliendo que:

\( y(\pi/2)=0=y'(\pi/2) \)

[ani_pascual]

Hola:

Lo primero, una sugerencia; para dejar espacios grandes en el entorno de \( \LaTeX \) puedes usar \hspace{xcm} donde \( x \) es un número, en vez de usar muchos \, 
Respecto a i) solo tienes que despejar \( y' \) de (I), derivarla  y comprobar que \( y'' \) cumple(II)
Respecto a ii) solo tienes que hallar la solución general de (II) y luego usar la condiciones iniciales. Ten en cuenta que (II) es una EDO lineal de segundo orden y completa. Resuelve primero la homogénea asociada.
A ver qué tal
Saludos

[ani_pascual]

... cumpliendo que:

\( x(\pi/2)=0=x'(\pi/2) \)

¿No será \( y(\pi/2)=0=y'(\pi/2) \)? 
Saludos

[TimOver]

Sí, es \( y(\pi/2)=0=y'(\pi/2) \)

[TimOver]

Vale, muchas gracias, luego lo intento a ver si me sale

[ani_pascual]

Vale, muchas gracias, luego lo intento a ver si me sale

Hola:
Por si quieres comparar después de haberlo intentado ... 

Spoiler

Hola:
La solución general de (I) es \( y=K_1\sen x-\sen x\cos x \)
Se puede ver que \( \forall\,K_1\in\mathbb{R},\,y=K_1\sen x \) es solución de \( y''-\dfrac{\cos x}{\sen x}y'+\dfrac{1}{\sen^2 x}y=0 \); en efecto, \( y'=K_1\cos x\Longrightarrow y''=-K_1\sen x \), por tanto, \( y''-\dfrac{\cos x}{\sen x}y'+\dfrac{1}{\sen^2 x}y=-K_1\sen x-\dfrac{\cos x}{\sen x}\cdot K_1\cos x+\dfrac{1}{\sen^2 x}\cdot K_1\sen x=-K_1\sen x+\dfrac{K_1}{\sen x}\left(1-\cos^2 x\right)=-K_1\sen x+K_2\sen x=0 \). Así pues, como las funciones \( y=K_1\sen x-\sen x\cos x \) con \( K_1\in\mathbb{R} \) resuelven (II), se tiene que la solución general de (II) viene dada por una familia biparamétrica de la forma
\( y=K_1\sen x+K_2z(x)-\sen x\cos x \) con \( K_1,K_2\in\mathbb{R} \) y \( z(x) \) solución de
\( y''-\dfrac{\cos x}{\sen x}y'+\dfrac{1}{\sen^2 x}y=0 \) linealmente independiente de \( \sen x \).
Pero \( z''=\dfrac{\cos x}{\sen x}z'-\dfrac{1}{\sen^2 x}z\Longrightarrow z'=\dfrac{\cos x}{\sen x}z+K_2
 \) luego tras resolver \( z(x)=K_2\sen x\ln\left(\dfrac{1-\cos x}{\sen x}\right) \) y, por tanto, la solución general de (II) viene dada por \( y=K_1\sen x+K_2\sen x\ln\left(\dfrac{1-\cos x}{\sen x}\right)-\sen x\cos x \) con \( K_1,K_2\in\mathbb{R} \)
Finalmente, como ha de ser \( y\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0=y'\left(\dfrac{\pi}{2}\right) \) se tiene que
\( K_1=0 \) y \( K_2=-1 \) luego \( \boxed{y=-\sen x\ln\left(\dfrac{1-\cos x}{\sen x}\right)-\sen x\cos x} \)
CORREGIDO
Saludos

[cerrar]

[TimOver]

Hola muchas gracias, pude encontrar las soluciones de la primera ecuación, pero no pude en el segundo caso. Tengo una pregunta, ¿por qué ya se sabe que el término no homogéneo está completamente determinado con (I), y sólo hace falta encontrar un segundo término homogéneo que sea independiente con el primero? Sé que todas las soluciones de (I) son soluciones de (II) pero no veo bien porque ya no hace falta calcular de nuevo el término no homogéneo adicional. Tengo un poco de lío, gracias de antemano

[TimOver]

Tampoco sé como se obtiene z'(x) y z(x). ¿Cómo lo has hecho? :'(