[franma]

Buenas a todos,

El enunciado dice lo siguiente:
Sea:

\( f(x)=\begin{cases} \frac{xh}{p} \text{ si } 0 \leq x \leq p  \\   \frac{h(\pi-x)}{\pi - p} \text{ si } p \leq x \leq \pi  \end{cases} \)

Consideremos la ecuación de ondas \( u_ {tt}=u_{xx} \) en el intervalo \( [0,\pi] \). Hallar la solución de la ecuación de ondas con \( u(x,0)=f(x) \) y \( u_t(x,0)=0 \).

Hemos visto en clase que en este caso la solución general al problema es:

\( \displaystyle u(x,t)=\sum_{k=1}^\infty \sin(k x) \left[ a_k \cos(k t)+b_k \sin(k t) \right] \)

y previamente he calculado la serie de Fourier (de la extensión impar de \( f \)) y he obtenido:

\( \displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^\infty \dfrac{2h}{n^2} \dfrac{\sin(np)}{p(\pi-p)} \sin(nx) \)

Hemos visto poca teoría en clase, y todos los teoremas (de soluciones) los hemos probado asumiendo que las condiciones iniciales eran suficientemente diferenciables, pero en este caso estoy perdido, pues \( f(x) \) no es ni siquiera de clase \( C^1 \).

Por un lado, puedo imponer \( u(x,0)=f(x) \) y obtener que \( a_k=\dfrac{2h}{k^2} \dfrac{\sin(kp)}{p(\pi-p)} \), por otro lado, no se como imponer \( u_t(x,0)=0 \) pues no se si tengo convergencia uniforme de la serie de las derivadas para poder derivar termino a termino.

Por otro lado, a ojo, pude observar que si coloco \( u(x,t):=f(x) \) entonces en los intervalos donde \( f \) es 2 veces derivable se cumple la ecuación de ondas y cumple las condiciones iniciales.

Aunque me parece raro que la solución no sea \( C^2 \) o al menos 2 veces derivable pues la misma ecuación es \( u_{tt}=u_{\color{red}xx} \)  .

¿Qué debo hacer en este caso?

Saludos,
Franco.

[mg]

Aunque me parece raro que la solución no sea \( C^2 \) o al menos 2 veces derivable pues la misma ecuación es \( u_t=u_{\color{red}xx} \)  .

¿Que debo hacer en este caso?

Saludos,
Franco.

Hola,

Primeramente comentar que la ecuación a la que haces referencia es la de calor, no la de ondas. Y en la ecuación de calor con otras condiciones se puede probar que basta con que $$f(x)\in{}L^2$$.

Lo que me tiene totalmente despistado es la condición $$u_t(x,0)=0$$....

Te voy a pedir para poder ayudarte que escribas como el profesor deduce (a través del método de separación de variables supongo) la solución general pues no me cuadran los cálculos.

Un saludo. 

[franma]

Buenas mg ,

Primeramente comentar que la ecuación a la que haces referencia es la de calor, no la de ondas. Y en la ecuación de calor con otras condiciones se puede probar que basta con que $$f(x)\in{}L^2$$.

Errata mía, quise poner \( u_{tt}=u_{xx} \) ya lo corregí.

Lo que me tiene totalmente despistado es la condición $$u_t(x,0)=0$$....

A mi tambien pues no la hemos visto en clase. En clase vimos las condiciones de borde \( u(0,t)=u(L,t)=0 \).

Te voy a pedir para poder ayudarte que escribas como el profesor deduce (a través del método de separación de variables supongo) la solución general pues no me cuadran los cálculos.

Perdona, la solución general que coloque fue la que tiene como condición de borde \( u(0,t)=u(L,t)=0 \) que es como la vimos en clase  . Si aun la necesitas no tengo problema en escribir la deducción.

¿Debería proponer una solución por separación de variables e intentar resolver la ecuación de esa manera?

Saludos,
Franco.

[mg]

Pues sí que va a ser necesario que escribas las cuentas pues yo las he hecho y me da que, sin aplicar la condición \( u(x,0)=f(x) \), la solución general viene dada por


\( u(x,t)=\displaystyle\sum_{k=1}^\infty{A_kcos(\displaystyle\frac{k\pi}{L}t)sen(\displaystyle\frac{k\pi}{L}x}) \) donde $$A_k$$ son coeficientes que aún no hemos determinado.

Escribo las edos que he resuelto para extender un poco mi respuesta.

$$\begin{cases}\phi''(t)=\phi(t)\lambda\\\phi'(0)=0\end{cases}$$    $$\begin{cases}\psi''(x)=\psi(x)\lambda\\\psi(0)=\psi(L)=0\end{cases}$$

Que viene de aplicar el método de separación de variables bajo las condiciones $$u(0,t)=u(L,t)=u_t(x,0)=0$$
 

Un saludo.

[franma]

Buenas mg

Bueno, intentare resolver el ejercicio por separación de variables como dices:
Buscamos una solucion de la forma \( u(x,t)=\phi(x)\psi(t) \).

Como \( 0=u_t(x,0)=\phi(x)\psi'(0)  \) entonces debe ser \( \psi'(0)=0 \) pues \( \phi(x) \) no puede ser la función nula.

Ahora debemos tener \( u_{tt}=u_{xx} \) , es decir, \( \phi''(x)\psi(t)=\phi(x)\psi''(t) \) operando llegamos a que \( \dfrac{\phi(x)}{\phi''(x)}=\dfrac{\psi(t)}{\psi''(t)} \) como el lado izquierdo solo depende de \( x \) y el derecho solo de \( t \) ambas expresiones deben ser constantes de donde:

\( \begin{cases} \phi(x)=\lambda \phi''(x) \\  \psi(t)=\lambda \psi''(t) \end{cases} \)

Resolviendo la primera, tenemos que \( \phi(x)=c_1 e^{\sqrt{\lambda}x}+c_2 e^{-\sqrt{\lambda}x} \). Como debemos tener \( u(0,t)=u(L,t)=0 \) entonces \( \phi(0)=\phi(L)=0 \) pues \( \psi(t) \) no puede ser la función nula.

Como \( \phi(0)=0 \) tenemos \( c_2=-c_1 \), ahora impongamos que \( \phi(L)=0 \), tenemos:

\( c_1(e^{\sqrt{\lambda}L}-e^{-\sqrt{\lambda}L})=0 \)

\( e^{\sqrt{\lambda}L}=e^{-\sqrt{\lambda}L} \)

\( e^{2\sqrt{\lambda}L}=1 \)

Por lo tanto \( 2\sqrt{\lambda}L=2k\pi i \) con \( k\in \mathbb{Z} \) y por lo tanto \( \lambda=-\dfrac{k^2\pi^2}{L^2} \) con \( k \in \mathbb{N} \)

De aqui tenemos que \( \phi_k(x)=c_k\left(e^{\frac{k\pi i}{L} x}-e^{-\frac{k\pi i}{L}x}\right)=c_k2i \sin\left(\dfrac{k\pi}{L}x \right)=\widehat{c}_k \sin\left(\dfrac{k\pi}{L}x \right) \), donde permito que \( \widehat{c}_k \in \mathbb{C} \)

Ahora debemos resolver (recordemos que ahora \( \lambda=-\frac{k^2\pi^2}{L^2} \)):

\( \begin{cases} \psi(t)=\lambda \psi''(t) \\ \psi'(0)=0   \end{cases} \)

Nuevamente la solución es: \( \psi(t)=d_1 e^{\sqrt{\lambda}x}+d_2 e^{-\sqrt{\lambda}x} \).
Imponiendo que \( 0=\psi'(0)= \sqrt{\lambda} ( d_1 - d_2) \) tiene que ser \( d_1=d_2 \) y por lo tanto:

\( \psi_k(t)=d_k (e^{\frac{k\pi i}{L}t}+e^{-\frac{k\pi i}{L}t})=\hat{d}_k \cos\left(\dfrac{k\pi}{L}t \right) \)

Ahora tenemos una familia de funciones \( u_k(x,t)=\hat{c}_k \sin\left(\dfrac{k\pi}{L}x \right)\hat{d}_k \cos\left(\dfrac{k\pi}{L}t \right) \). Llamemos \( a_k=\hat{c}_k\hat{d}_k \)

Aplicando el principio de superposición, nuestra solución buscada es:

\( \displaystyle u(x,t)=\sum_{k=1}^\infty a_k \sin\left(\dfrac{k\pi}{L}x \right) \cos\left(\dfrac{k\pi}{L}t \right) \)

En el caso del ejercicio \( L=\pi \)

Imponiendo que \( u(x,0)=f(x) \) tenemos que \( a_k \) son los coeficientes de serie de Fourier de la extensión impar de \( f \) por lo tanto:

\( \displaystyle \boxed{ u(x,t)=\sum_{k=1}^\infty \dfrac{2h}{k^2} \dfrac{\sin(kp)}{p(\pi-p)} \sin\left(k x \right) \cos\left(k t \right)} \)

¿Es correcto?

Saludos,
Franco.

[mg]

Ya veo el problema. El caso es que ahí :

Buenas mg

Bueno, intentare resolver el ejercicio por separación de variables como dices:
Buscamos una solucion de la forma \( u(x,t)=\phi(x)\psi(t) \).

Como \( 0=u_t(x,0)=\phi(x)\psi'(0)  \) entonces debe ser \( \psi'(0)=0 \) pues \( \phi(x) \) no puede ser la función nula.

Ahora debemos tener \( u_{tt}=u_{xx} \) , es decir, \( \phi''(x)\psi(t)=\phi(x)\psi''(t) \) operando llegamos a que \( \dfrac{\phi(x)}{\phi''(x)}=\dfrac{\psi(t)}{\psi''(t)} \) como el lado izquierdo solo depende de \( x \) y el derecho solo de \( t \) ambas expresiones deben ser constantes de donde:

\( \begin{cases} \phi(x)=\lambda \phi''(x) \\  \psi(t)=\lambda \psi''(t) \end{cases} \)

Resolviendo la primera, tenemos que \( \phi(x)=c_1 e^{\sqrt{\lambda}x}+c_2 e^{-\sqrt{\lambda}x} \).

Estas suponiendo que $$\lambda>0$$ pues entonces un sistema fundamental suyo es \( \left\{e^{\sqrt[ ]{\lambda}},e^{-\sqrt[ ]{\lambda}}\right\} \)

Por tanto cuando llegas aquí:

Como \( \phi(0)=0 \) tenemos \( c_2=-c_1 \), ahora impongamos que \( \phi(L)=0 \), tenemos:

\( c_1(e^{\sqrt{\lambda}L}-e^{-\sqrt{\lambda}L})=0 \)

\( e^{\sqrt{\lambda}L}=e^{-\sqrt{\lambda}L} \)

\( e^{2\sqrt{\lambda}L}=1 \)

Por lo tanto \( 2\sqrt{\lambda}L=2k\pi i \) con \( k\in \mathbb{Z} \) y por lo tanto \( \lambda=-\dfrac{k^2\pi^2}{L^2} \) con \( k \in \mathbb{N} \)

ES una contradicción porque $$\lambda>0$$ y real, evidentemente. De forma que te faltaría considerar los casos en que $$\lambda=0$$ y $$\lambda<0$$. Tras las cuentas podrás comprobar que solo el último caso ofrece soluciones no triviales del problema. Si te apetece puedes continuar el ejercicio como te digo y subirlo al post. Yo le echaré un ojo para ver que todo va bien.

Aplicando el principio de superposición, nuestra solución buscada es:

\( \displaystyle u(x,t)=\sum_{k=1}^\infty a_k \sin\left(\dfrac{k\pi}{L}x \right) \cos\left(\dfrac{k\pi}{L}t \right) \)

Al final, efectivamente te debe quedar esta solución.


Y ahora aquí es cuando puede ser que cometas un error calculando los coeficientes:

En el caso del ejercicio \( L=\pi \)

Imponiendo que \( u(x,0)=f(x) \) tenemos que \( a_k \) son los coeficientes de serie de Fourier de la extensión impar de \( f \) por lo tanto:

\( \displaystyle \boxed{ u(x,t)=\sum_{k=1}^\infty \dfrac{2h}{k^2} \dfrac{\sin(kp)}{p(\pi-p)} \sin\left(k x \right) \cos\left(k t \right)} \)

¿Es correcto?

Saludos,
Franco.

Pues los coeficientes de $$f(x)$$ en la base de los senos vienen dados por $$f_k=\displaystyle\frac{2}{L}\displaystyle\int_{0}^{\pi}f(x)sin(kx)dx$$ y haciendo un pequeño cálculo creo que tu resultado no es correcto. ¿Cómo has hallado los coeficientes?

Un saludo.