Hola a todos.

Tengo que resolver el siguiente enunciado, donde voy a denotar con el símbolo \( ^o \) a la imagen por la correspondencia de Galois de un elemento en \( Sub(L/K) \) ó \( Sub(Gal(L/K)) \) indistintamente.

Para \( L/K \) una extensión de Galois finita, sean \( X_1 \subseteq{} X_2 \) elementos de \( Sub(L/K) \) ó \( Sub(Gal(L/K)) \), demostrar que \( [X_2 : X_1] = [X_1^o : X_2^o] \).

Sé demostrar \( \geq{} \), pero me he atascado viendo la otra desigualdad. Si \( X_1 \) fuera cerrado sí sería sencillo, pero en general no sé cómo proceder.

Hola a todos. Quiero compartir mi prueba sobre el siguiente enunciado, por si pueden ayudarme a que explique mejor ciertos pasos:

Sea \( (U, X) \) una carta positivamente orientada de una superficie regular \( S \) para la cual se verifica \( G_v = 0 \) y \( G_u = 2F_v \). Demostrar que las curvas coordenadas \( \alpha(v) = X(u_0, v) \) son geodésicas.

Mi intento consiste en ver que \( k_g = \displaystyle\frac{<\alpha'', N \wedge \alpha'>}{|\alpha'|^3} = 0 \), para ello hice:

\( \alpha' = X_v \) y por definición de \( G \), tras derivar en \( v \) tengo por hipótesis \( <X_v, X_{vv}> = 0 \). Si derivo en \( u \), por la segunda expresión de la hipótesis tengo que \( <X_u, X_{vv}> = 0 \).

Por otro lado, \( N = \displaystyle\frac{X_u \wedge X_v}{|X_u \wedge X_v|} \), entonces \( N \wedge \alpha' = \frac{X_u}{|X_u \wedge X_v|} \). ¿Cómo puedo justificar esto mediante un argumento algebraico (o geométrico sino)?

Una vez hecho esto, sustituyendo en la fórmula llego a que \( k_g = \displaystyle\frac{1}{|X_u \wedge X_v|} \displaystyle\frac{1}{|X_v|^2} <X_{vv}, X_u> = 0 \)

Diría que la demostración es correcta, pero cualquier puntualización y argumentar lo del normal me sería de gran ayuda.

Llego un poco tarde pero muchas gracias, me sirvió mucho tu explicación. Efectivamente la elección esa rara es lo que me confundía.

 

Hola a todos.

Estoy estudiando métodos numéricos para las ecuaciones diferenciales, y con frecuencia uso estos dos resultados que no me han demostrado:

\( \displaystyle\lim_{hn = t}{(1 - hL)^n} = e^{-tL}  \)
\( (1 + O(h^{p+1}))^n = 1 + O(h^p)  \) cuando \( h \rightarrow{} 0 \)

Donde \( t = nh \) es fijo, \( n \rightarrow{} \infty \) y \( L > 0 \) constante.

Me preguntaba si alguien conocía una demostración para cada una. La primera parece evidente de la expresión del número \( e \) como límite, y la segunda probablemente necesite el uso del binomio de Newton, pero no acabo de ver cómo plantearlas.

Un saludo y gracias por vuestra atención.

Hola a todos.

Estoy intentando probar la siguiente caracterización de una curva geodésica \( \alpha(t) = (x(t), y(t), z(t)) \) en una superficie \( S = F^{-1}(a) \) donde \( a \) es un valor regular real y \( F : \mathbb{R^3}  \longrightarrow{} \mathbb{R} \) es diferenciable:

\( \alpha \) es geodésica de \( S \Longleftrightarrow{} x'(t) F_x(\alpha(t)) +y'(t) F_y(\alpha(t)) +z'(t) F_z(\alpha(t)) = 0 \) y el determinante \begin{bmatrix}{x'(t)}&{x''(t)}&{F_x(\alpha(t))}\\{y'(t)}&{y''(t)}&{F_y(\alpha(t))}\\{z'(t)}&{z''(t)}&{F_z(\alpha(t))}\end{bmatrix} = 0.

El resultado parece sencillo pero no sé como ligar la definición de curvatura geodésica cero, que implica \( \displaystyle\frac{D\alpha'}{dt}(t) = 0 \), con la aparición de las derivadas parciales de la función \( F \) que define la superficie \( S \).

También sé que \( \displaystyle\frac{D\alpha'}{dt}(t) = \alpha''(t) - \left<{\alpha''(t), N(\alpha(t))}\right> N(\alpha(t)) \) pero no sé cómo se obtendría el normal para este caso.

Cualquier indicación me sería de ayuda. Gracias.

Hola a todos.

Estoy intentando resolver el siguiente problema sobre polinomios con coeficientes en un dominio.

Sea \( D \) un dominio, \( K \) su cuerpo de fracciones y \( P, Q \in D[X] \), demostrar que si \( P \) y \( Q \) son coprimos en \( K[X] \) también lo son en \( D[X] \) y existen \( A, B \in D[X] \) con \( AP + BQ \in D \setminus \left\{{0}\right\} \).

Mi idea consiste en partir de la hipótesis, entonces existen \( F, G \in K[X] \) tal que \( PF + QG = 1 \), pero no sé continuar a partir de ahí para relacionarlo con \( D[X] \) (seguramente usando la propiedad universal, pero no sé cómo se formalizaría). Por ello agradecería si alguien puede resolver el problema.

Gracias y un saludo.

Hola a todos.

Estoy estancado en el problema siguiente: demostrar que la aplicación \( Hom(A, B) \times B \longrightarrow{} Hom(A[X], B)  \) que manda \( (f, b) \rightarrow{} f_b  \) es biyectiva. Sabemos que \( f: A \longrightarrow{} B  \) es un homomorfismo de anillos, \(  b \in B  \) y \( f_b: A[X] \longrightarrow{} B \) es el homomorfismo de sustitución en \( b \).

Mi intento ha consistido en empezar con la inyectividad:

\( f_b  = g_a \Rightarrow{} f_b(C) = g_a(C) \ \forall{} C \in A[X] \Rightarrow{} f(c_0) + f(c_1)b + ... + f(c_n)b^n = g(c_0) + g(c_1)a + ... + g(c_n)a^n \)

Pero a partir de ahí no sé seguir. Cualquier sugerencia es bienvenida.

Un saludo y gracias por su atención.

Muchas gracias Luis, usando este argumento resultaba ser intuitivo.

Buenas tardes.

Es conocido que la superficie desarrollable tangencial se parametriza por \( X(u, v) = \alpha(u) + v·\alpha'(u)  \) para \( \alpha : I \longrightarrow{\mathbb{R^3}} \) una curva regular y \( u \in I \).

A la hora de definir el dominio de \( X \), no sé si tenemos que tomar \( v \in \mathbb{R}  \) o \( v \in (0, +\infty) \). Esta duda me ha surgido porque si estudio la regularidad de \( X \), tengo que \( X_u \wedge X_v = 0 \Longleftrightarrow{} v = 0 \), entonces como \( \alpha \) de partida es regular, no sé si esto implica que \( X \) siempre es regular, o sólo lo es si \( v \) no es 0. Es decir, me gustaría saber cuál es el rango del parámetro \( v \) y cómo afecta ello a la regularidad de la parametrización de arriba.

Además, quería comprobar si los coeficientes de la primera forma fundamental se pueden simplificar, sin suponer que \( \alpha \) es p.p.a:

\(  E = T^2(t) + v^2 · k^2(t) \)
\( F = G =  T^2(t) \)

Un saludo.

Yo usaría que es la gráfica de:

\( f(x)=\begin{cases}{x^2sin(1/x)}&\text{si}& x\neq 0\\0 & \text{si}& x=0\end{cases} \)

que es continua, diferenciable y con derivada acotada y por tanto rectificable.

Saludos.

Buenas Luis, ¿me sirve ese resultado aunque mi curva \( \alpha \) esté definida en el abierto \( (-1, 1) \) y no en el cerrado? Saludos y gracias.