Autor Tema: Ejercicio 17.20 e Munkres

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27 Octubre, 2021, 09:35 am
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Fernando Padilla

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Encontrar la frontera y el interior de \( E=\{x\times y|0<x^2-y^2\leq{1}\} \)

Este es mi procedimiento, ¿es correcto?

\( E=\{x\times y|0<x^2-y^2\leq{1}\}=\{x\times y|0<x^2-y^2<1\}\cup \{x\times y|x^2-y^2=1\}  \)
\( E_1=\{x\times y|0<x^2-y^2<1\} \)
\( E_1=\{x\times y|0<x^2-y^2\}\cap\{x\times y|x^2-y^2<1\} \)
\( E_2=\{x\times y|0<x^2-y^2\} \)
\( E_3=\{x\times y|x^2-y^2<1\} \)
\( E_1=E_2\cap E_3 \)
\( E_4=\{x\times y|x^2-y^2=1\} \)

\( E_2 \) es abierto, por que para cada punto de \( E_2 \) puedo encontrar un abierto que contenga a dicho punto y sea un subconjunto de \( E_2 \):
Si, \( y<x \)(de la misma manera se debe analizar el caso \( x<y \)), entonces \( x\times y \in E_2 \), luego \( x\times y\in (x-a,(x+y)/2)\times ((x+y)/2,y+a)=P \) tal que \( a>0 \), además \( P\subset E_2 \), luego la unión de todos los puntos de \( E_2 \) es la unión de todos los abiertos que contienen puntos de \( E_2 \), por lo tanto \( E_2 \) es abierto, y tambien lo es \( E_3 \) (análisis similar al de \( E_2 \)), por lo tanto \( E_1 \) es abierto.
\( E_4 \) no es abierto por que el interior de \( E_4 \) es \( \emptyset \), ya que todo abierto que contiene un punto de \( E_4 \) contienen necesariamente puntos que no estan en \( E_4 \), entonces no existe un abierto que esté incluido en \( E_4 \), lo que resulta que no es posible que \( E_4\subset \) Int \( E_4 \), luego \( E_4 \) no es abierto.
El interior de \( E \) es el mayor abierto que este incluido en la unión de \( E_1 \) con \( E_4 \), pero como no existe abierto incluido en \( E_4 \) y además, como \( E_1 \) es abierto, entonces Int \( E=\{x\times y|0<x^2-y^2<1\} \).

\( E_n=\{x\times y|x^2-y^2<0\} \) tambien es abierto, por el mismo análisis que \( E_2. \)
\( E_m=\{x\times y|x^2-y^2>1\} \) tambien es abierto, por el mismo análisis que \( E_3. \)

\( \overline{E}=E\cup E' \), como \( E_n \) y \( E_m \) son abiertos, entonces \( E_5=\{x\times y|x^2-y^2\geq{0}\} \), \( E_6=\{x\times y|x^2-y^2\leq{1}\} \) son cerrados, luego la intersección \( E_7=\{x\times y|0\leq{}x^2-y^2\leq{1}\} \) es cerrada.
\( E_8=E_7-E=\{x\times y|x^2-y^2=0\} \), luego \( E\cup E'\subset E\cup E_8 \), si \( E_8\subset E' \), entonces \( E_7=\overline{E} \).
Cualquier abierto que contenga un punto de \( E_8 \) intersecta a algún punto diferente de \( E \), luego \( E_8\subset E' \), por lo que \( \overline{E}=\{x\times y|0\leq{}x^2-y^2\leq{1}\} \), luego la frontera es \( \overline{E}- \) Int \( E \).

27 Octubre, 2021, 12:20 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Encontrar la frontera y el interior de \( E=\{x\times y|0<x^2-y^2\leq{1}\} \)

Este es mi procedimiento, ¿es correcto?

\( E=\{x\times y|0<x^2-y^2\leq{1}\}=\{x\times y|0<x^2-y^2<1\}\cup \{x\times y|x^2-y^2=1\}  \)
\( E_1=\{x\times y|0<x^2-y^2<1\} \)
\( E_1=\{x\times y|0<x^2-y^2\}\cap\{x\times y|x^2-y^2<1\} \)
\( E_2=\{x\times y|0<x^2-y^2\} \)
\( E_3=\{x\times y|x^2-y^2<1\} \)
\( E_1=E_2\cap E_3 \)
\( E_4=\{x\times y|x^2-y^2=1\} \)

\( E_2 \) es abierto, por que para cada punto de \( E_2 \) puedo encontrar un abierto que contenga a dicho punto y sea un subconjunto de \( E_2 \):
Si, \( y<x \)(de la misma manera se debe analizar el caso \( x<y \)), entonces \( x\times y \in E_2 \), luego \( x\times y\in (x-a,(x+y)/2)\times ((x+y)/2,y+a)=P \) tal que \( a>0 \), además \( P\subset E_2 \), luego la unión de todos los puntos de \( E_2 \) es la unión de todos los abiertos que contienen puntos de \( E_2 \), por lo tanto \( E_2 \) es abierto, y tambien lo es \( E_3 \) (análisis similar al de \( E_2 \)), por lo tanto \( E_1 \) es abierto.

No digo que no sea cierto eso, pero tienes que explicar porqué y como eliges ese \( a \) para que cumpla.

Hay un resultado que no sé si has estudiado y ya puedes usar para este tipo de ejercicios, que ahorra mucho trabajo.

Si \( f:X\to Y \) continua entonces \( f^{-1}(A) \) es abierto si \( A \) es abierto en \( Y \) ó \( f^{-1}(B) \) es cerrado si \( B \) es cerrado en \( Y \).

Después usar las propiedades típicas de las funciones continuas (suma, producto, resta, cociente, composición de continuas es continua y que las funciones básicas son continuas).

Con eso tendríamos por ejemplo que la función:

\( f:\Bbb R^2\to \Bbb R,\quad f(x,y)=x^2-y^2 \)

es continua y \( E_1=f^{-1}((0,1)) \) abierto por ser la imagen inversa de un abierto.

Saludos.

27 Octubre, 2021, 11:02 pm
Respuesta #2

Fernando Padilla

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Hola Luis,

Muchas gracias, aún no he repasado ese tema pero lo haré pronto y espero poder entender tu solución, pues como comentas parece algo tedioso no hacerlo por el método que propones.

Saludos.